Matematyka.pl

całka krzywoliniowa \(\displaystyle{ \int_C \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}\) po gładkiej krzywej zamkniętej ograniczającej obszar \(\displaystyle{ S}\), zorientowanej dodatnio względem \(\displaystyle{ S}\) i takiej, że \(\displaystyle{ (0,0)\in S}\) jest równa:
A)\(\displaystyle{ 2}\)
B)\(\displaystyle{ -2}\)
C)\(\displaystyle{ 2\pi}\)
D)\(\displaystyle{ -2\pi}\)

prosze o pomoc

Pole \(\displaystyle{ \left[ \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2} \right]}\) jest potencjalne zatem przyjmując parametryzację krzywej \(\displaystyle{ C}\) jako \(\displaystyle{ x(t)=\cos t}\) i \(\displaystyle{ y(t)=\sin t}\). Co po podstawianiu daje:

\(\displaystyle{ \int_C \frac{x \mbox{d}y-y \mbox{d}x }{x^2+y^2}=\int_{0}^{2 \pi } \frac{ \cos t\mbox{d}\sin t-\sin t\mbox{d}\cos t}{1}=\int_{0}^{2 \pi } \mbox{d}t=2 \pi}\)

Można też podejść do tego od strony analizy zespolonej tylko nad funkcją podcałkową trzeba by się było zastanowić.

-- 24 lip 2019, o 20:52 --

O chyba już wiem jak od strony analizy zespolonej można na to patrzeć. Rozważmy całkę zespoloną po krzywej jak w treści

\(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{ \mbox{d}x }{z}=\oint_{C} \frac{ \overline{z}\mbox{d}z}{z\overline{z}}=\oint_{C} \frac{ \overline{z}\mbox{d}z}{|z|^2}=\oint_{C} \frac{\left( x-iy\right)\left( \mbox{d}x +i \mbox{d}y\right) }{x^2+y^2}=\oint_{C} \frac{x \mbox{d}x +y \mbox{d}y }{x^2+y^2}+i\oint_{C} \frac{x \mbox{d}y-y \mbox{d}x }{x^2+y^2}}\)

Z ogólnej teorii funkcji zespolonych (tw. Cauchego lub o residuach, że \(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{ \mbox{d}x }{z}=2 \pi i}\) zatem:

\(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{x \mbox{d}x +y \mbox{d}y }{x^2+y^2}+i\oint_{C} \frac{x \mbox{d}y-y \mbox{d}x }{x^2+y^2}=2 \pi i}\)

A to jest zwykłe porównanie liczb zespolonych (część rzeczywista po lewej to część rzeczywista po prawej i analogicznie dla urojonej) co daje:

\(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{x \mbox{d}x +y \mbox{d}y }{x^2+y^2}=0}\)

jak bonus. Ale co ważniejsze:

\(\displaystyle{ i\oint_{C} \frac{x \mbox{d}y-y \mbox{d}x }{x^2+y^2}=2 \pi i}\)

Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ i}\) i mamy to czego się spodziewaliśmy.-- 24 lip 2019, o 22:19 --PS Miał być \(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{ \mbox{d}z}{z}=2 \pi i}\) w dwóch miejscach.