Witam.
Mam do policzenia całkę krzywoliniową po krzywej zamkniętej tworzącej się na przecięciu walca \(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\) oraz płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z=1}\), przy czym \(\displaystyle{ F=[x^2z,xy^2,z^2].}\) W oparciu o twierdzenie Stokesa całka redukuje się do policzenia \(\displaystyle{ \iint _\Sigma x^2 dz dx+y^2dxdy}\). Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Pozdrawiam
Twierdzenie Stokesa
-
poloponezek76
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 27 cze 2019, o 23:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Wiśnicz
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Twierdzenie Stokesa
A nie prościej sparametryzować tę krzywą: \(\displaystyle{ x=3\cos\varphi, y=3\sin\varphi, z=1-3\cos\varphi-3\sin\varphi}\) ?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Twierdzenie Stokesa
Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) oznacza krzywą w wyniku przecięcia części płaszczyzny \(\displaystyle{ z = 1- x - y, \ \ z\geq 0}\) wyciętej walcem \(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 9}\)- zorientowaną dodatnio.
Korzystając z klasycznego wzoru Stokesa:
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{C} \vec{F}= \iint_{x^2+y^2\leq 9} rot(\vec{F})}\)
\(\displaystyle{ C}\) jest rzutem krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2_{(x,y)}}\)
\(\displaystyle{ rot(\vec{F}) = \left |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z} \\ x^2z & xy^2 & z^2 \end{matrix}\right| = 0\cdot \vec{i} + x^2\vec{j} + y^2\vec{k} \ \ (1)}\)
Parametryzujemy powierzchnię \(\displaystyle{ x^2 + y^2 < 9}\) w \(\displaystyle{ \RR^3:}\)
\(\displaystyle{ \phi(r, \theta) = (r\cos(\theta), \ \ r\sin(\theta), \ \ 0 ), \ \ 0 < r < 3, \ \ 0< \theta < 2\pi.\ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{|r} = ( \cos(\theta), \ sin(\theta) , 0), \ \ \phi_{|\theta} = ( -r\sin(\theta), \ r\cos(\theta) , 0)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{|r}\times \phi_{|\theta} = \left |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos(\theta)}&\sin(\theta)& 0 \\ -r\sin(\theta) & r\cos(\theta) & 0 \end{matrix}\right| = 0\cdot \vec{i} + 0\cdot \vec{j} + r\cdot \vec{k}}\)
Stąd wektor normalny do powierzchni
\(\displaystyle{ \vec{n} = \frac{\phi_{|r}\times \phi_{|\theta}}{\parallel \phi_{|r}\times \phi_{|\theta} \parallel}= [0, 0, 1] \ \ (3)}\)
Z \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi} [0, r^2\cos^2(\theta), r^2\sin^2(\theta)]\cdot [0, 0, 1] dr d\theta = \int_{0}^{3} \int_{0}^{\2\pi}r^2 \sin^2(\theta)dr d\theta \ \ (4)}\)
Całkę wewnętrzną \(\displaystyle{ (4)}\) obliczamy metodą całkowania przez części lub korzystając z tożsamości trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2(\theta) = \frac{1}{2} [ 1- \cos(2\theta)]}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{0}^{3}r^2 \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2} [ 1- \cos(2\theta)]d\theta dr = \frac{27}{3}\pi = 9\pi.}\)
Proszę sprawdzić twierdzenie Stokesa, obliczając całkę krzywoliniową z pola \(\displaystyle{ \vec{F}}\) po krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{\Gamma} x^2zdx + xy^2dy +z^2dz = 9\pi.}\)
Korzystając z klasycznego wzoru Stokesa:
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{C} \vec{F}= \iint_{x^2+y^2\leq 9} rot(\vec{F})}\)
\(\displaystyle{ C}\) jest rzutem krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2_{(x,y)}}\)
\(\displaystyle{ rot(\vec{F}) = \left |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z} \\ x^2z & xy^2 & z^2 \end{matrix}\right| = 0\cdot \vec{i} + x^2\vec{j} + y^2\vec{k} \ \ (1)}\)
Parametryzujemy powierzchnię \(\displaystyle{ x^2 + y^2 < 9}\) w \(\displaystyle{ \RR^3:}\)
\(\displaystyle{ \phi(r, \theta) = (r\cos(\theta), \ \ r\sin(\theta), \ \ 0 ), \ \ 0 < r < 3, \ \ 0< \theta < 2\pi.\ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{|r} = ( \cos(\theta), \ sin(\theta) , 0), \ \ \phi_{|\theta} = ( -r\sin(\theta), \ r\cos(\theta) , 0)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{|r}\times \phi_{|\theta} = \left |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos(\theta)}&\sin(\theta)& 0 \\ -r\sin(\theta) & r\cos(\theta) & 0 \end{matrix}\right| = 0\cdot \vec{i} + 0\cdot \vec{j} + r\cdot \vec{k}}\)
Stąd wektor normalny do powierzchni
\(\displaystyle{ \vec{n} = \frac{\phi_{|r}\times \phi_{|\theta}}{\parallel \phi_{|r}\times \phi_{|\theta} \parallel}= [0, 0, 1] \ \ (3)}\)
Z \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi} [0, r^2\cos^2(\theta), r^2\sin^2(\theta)]\cdot [0, 0, 1] dr d\theta = \int_{0}^{3} \int_{0}^{\2\pi}r^2 \sin^2(\theta)dr d\theta \ \ (4)}\)
Całkę wewnętrzną \(\displaystyle{ (4)}\) obliczamy metodą całkowania przez części lub korzystając z tożsamości trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2(\theta) = \frac{1}{2} [ 1- \cos(2\theta)]}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{0}^{3}r^2 \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2} [ 1- \cos(2\theta)]d\theta dr = \frac{27}{3}\pi = 9\pi.}\)
Proszę sprawdzić twierdzenie Stokesa, obliczając całkę krzywoliniową z pola \(\displaystyle{ \vec{F}}\) po krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \vec{F} = \int_{\Gamma} x^2zdx + xy^2dy +z^2dz = 9\pi.}\)