Twierdzenie Greena

[mkopmkop]

Hej,
chciałem prosić o sprawdzenie, czy dobrze zrobiłem poniższe zadanie:

Oblicz całkę krzywoliniową \(\displaystyle{ \int_{C}^{} (x^{2} + y^{2})dx + (x^{2}-y^{2})dy}\), gdzie C jest okręgiem jednostkowym \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=1}\) zorientowanym dodatnio.

W rozwiązaniu korzystam z tw. Greena, zapisuję całkę jako:
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} (x^{2} + y^{2})dx + (x^{2}-y^{2})d = \int_{D}^{} \int_{}^{}(2x-2y)dxdy}\)

Przechodzę na współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int_{}^{}(2x-2y)dxdy= \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{1}(2r\cos \alpha - 2r\sin \alpha)drd \alpha= \int_{0}^{1}\left\{ \int_{0}^{2 \pi } (2r\cos \alpha - 2r\sin \alpha)d \alpha \right\}dr}\)


Liczę całkę wewnętrzną:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (2r\cos \alpha - 2r\sin \alpha)d \alpha=2r \int_{}^{} \cos \alpha d \alpha - 2r \int_{}^{} \sin \alpha d \alpha =2r\sin \alpha + 2r\cos \alpha}\)


Podstawiam granice całkowania i otrzymuję \(\displaystyle{ 2r-2r=0}\)

Czy 0 to poprawny wynik? Czy może gdzieś się pomyliłem?

[Benny01]

Po pierwsze to zapomniałeś o jakobianie, a po drugie to jakim cudem zniknęła Ci ta całka zewnętrzna?