Paraboloida w kuli
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Paraboloida w kuli
Obliczyć pole części paraboloidy \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z,}\) która jest w kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \leq 3.}\)
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2019, o 17:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Paraboloida w kuli
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 +z^2 \leq 3}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2z}\)
Przecięcie się powierzchni
\(\displaystyle{ z^2 +2z -3 = (z+3)(z - 2)= 0,}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= -3}\) - odrzucamy.
\(\displaystyle{ z_{2} = 2.}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2\cdot 2=4.}\)
Współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ ( r, \theta, z) \rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),}\)
\(\displaystyle{ Jac(r, \theta) = r.}\)
Element płata powierzchni paraboloidy
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 + z'^2_{x} + z'^2_{y}}dx dy}\)
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 +x^2 +y^2}dxdy = \sqrt{1 +r^2}dr}\)
\(\displaystyle{ |S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}r dr d\theta =...= \frac{2}{3}\pi (5\sqrt{5}-1).}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2z}\)
Przecięcie się powierzchni
\(\displaystyle{ z^2 +2z -3 = (z+3)(z - 2)= 0,}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= -3}\) - odrzucamy.
\(\displaystyle{ z_{2} = 2.}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2\cdot 2=4.}\)
Współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ ( r, \theta, z) \rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),}\)
\(\displaystyle{ Jac(r, \theta) = r.}\)
Element płata powierzchni paraboloidy
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 + z'^2_{x} + z'^2_{y}}dx dy}\)
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 +x^2 +y^2}dxdy = \sqrt{1 +r^2}dr}\)
\(\displaystyle{ |S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}r dr d\theta =...= \frac{2}{3}\pi (5\sqrt{5}-1).}\)