Paraboloida w kuli
: 26 kwie 2019, o 11:13
Obliczyć pole części paraboloidy \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z,}\) która jest w kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \leq 3.}\)
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 +z^2 \leq 3}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2z}\)
Przecięcie się powierzchni
\(\displaystyle{ z^2 +2z -3 = (z+3)(z - 2)= 0,}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= -3}\) - odrzucamy.
\(\displaystyle{ z_{2} = 2.}\)
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2\cdot 2=4.}\)
Współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ ( r, \theta, z) \rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),}\)
\(\displaystyle{ Jac(r, \theta) = r.}\)
Element płata powierzchni paraboloidy
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 + z'^2_{x} + z'^2_{y}}dx dy}\)
\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 +x^2 +y^2}dxdy = \sqrt{1 +r^2}dr}\)
\(\displaystyle{ |S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}r dr d\theta =...= \frac{2}{3}\pi (5\sqrt{5}-1).}\)