Pochodna na przestrzeni wektorowej

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 27 razy

Pochodna na przestrzeni wektorowej

Post autor: camillus25 »

Potrzebuję bardzo pomocy z takim oto zadaniem.

Dana jest przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ \left( V=C[0,1], \ \left| \left| \cdot \right| \right|_{sup}\right)}\) i \(\displaystyle{ T \in Map(V;V), \ T(f)=f^{2}}\). Niech \(\displaystyle{ f_{0} \in V}\). Wyznacz \(\displaystyle{ dT(f_{0})}\).
szw1710

Re: Pochodna na przestrzeni wektorowej

Post autor: szw1710 »

Dla "zwykłych" funkcji masz \(\displaystyle{ (x^2)'=2x.}\) Podążamy tym śladem. Wykaż, że \(\displaystyle{ \dd T(f_0)(h)=2f_0h.}\) Zrób to z definicji pochodnej Frécheta. Trzeba będzie sprawdzić, że jeśli \(\displaystyle{ \|h\|\to 0}\), to \(\displaystyle{ \frac{h^2}{\|h\|}\to 0}\) w sensie normy supremum. Zważ, że dla małych \(\displaystyle{ t}\), czyli dla \(\displaystyle{ |t|<1}\), \(\displaystyle{ t^2\le t}\), więc kwadrat zmierza do zera szybciej niż liczba.
ODPOWIEDZ