Bryła Vivianiego

[lemurka97]

Dana jest bryła wycięta walcem \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = Rx}\) z kuli \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}=R ^{2}}\). Obliczyć objętość, pole górnej i dolnej podstawy i pole powierzchni bocznej.-- 1 kwi 2019, o 16:45 --Podstawiłam \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\) i przedziały całkowania \(\displaystyle{ r\in \left[ 0, \frac{R}{2} \right]}\),\(\displaystyle{ \varphi\in\left[ 0,2\pi\right]}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\left[ - \sqrt{R ^{2}-x ^{2}+y ^{2} }, \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } \right]}\) ale nie wygląda to dobrze

[kerajs]

Podstawiłam \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\) i przedziały całkowania \(\displaystyle{ r\in \left[ 0, \frac{R}{2} \right]}\),\(\displaystyle{ \varphi\in\left[ 0,2\pi\right]}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\left[ - \sqrt{R ^{2}-x ^{2}+y ^{2} }, \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } \right]}\) ale nie wygląda to dobrze

Gdyż wymieszałaś dwa różne podstawienia.
Albo:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\) i przedziały całkowania \(\displaystyle{ r\in \left[ 0, R\cos \varphi \right]}\),\(\displaystyle{ \varphi\in\left[ \frac{- \pi }{2} ,\frac{ \pi }{2}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\left[ - \sqrt{R ^{2}-r ^{2} }, \sqrt{R ^{2}-r ^{2} } \right]}\)

albo
\(\displaystyle{ x= \frac{R}{2}+r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y= r\sin\varphi}\) i przedziały całkowania \(\displaystyle{ r\in \left[ 0, \frac{R}{2} \right]}\),\(\displaystyle{ \varphi\in\left[ 0,2\pi\right]}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\left[ - \sqrt{R ^{2}-(\frac{R}{2}+r\cos\varphi) ^{2}-(r\sin\varphi) ^{2} }, \sqrt{R ^{2}-(\frac{R}{2}+r\cos\varphi) ^{2}-(r\sin\varphi) ^{2} } \right]}\)