twierdzenie Gaussa-Ostrogadzkiego

[dark1516]

Jak policzyć całkę po zewnętrznej stronie sfery:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4}\)

\(\displaystyle{ \int \int (x+y)^2dy \wedge dz+(y+z)^2dz \wedge dx+(z+x)^2dx \wedge dy}\)

[janusz47]

Korzystając z Twierdzenia Gaussa - Ostrogradskiego, całkę po zewnętrznej stronie sfery z \(\displaystyle{ 2}\)- formy \(\displaystyle{ \omega^2}\) zamieniamy na całkę z \(\displaystyle{ 1}\)- formy \(\displaystyle{ \omega^{1}}\) po objętości \(\displaystyle{ (V).}\)

Ze względu na symetrię wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) sfery leżącą na przykład w\(\displaystyle{ I}\) oktancie prostokątnego układu współrzędnych.

Sprawdzamy poprawność otrzymanego wyniku przez obliczenie całki powierzchniowej po zewnętrznej stronie sfery z \(\displaystyle{ 2-}\) formy.