Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: Wojtus2131 »

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{K}^{}ydx+xdy+dz}\) gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest krzywą powstałą w wyniku przecięcia się powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) i leżącą w pierwszym oktancie przestrzeni.
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: pkrwczn »

Całka jest po półokręgu, we współrzędnych cylindrycznych mamy

\(\displaystyle{ z=xy=R^2\sin\phi\cos\phi}\)

\(\displaystyle{ \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\left[ R\cos\phi \ \dd(R\sin\phi)+R\sin\phi \ \dd(R\cos\phi)+\dd(R^2\sin\phi\cos\phi)\right] =}\)
\(\displaystyle{ =2R^2\int_0^{\pi/2}\left( \cos^2\phi-\sin^2\phi\right)\dd\phi=0 }\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: janusz47 »

Jest to całka po ćwierć okręgu. Można też zauważyć, że pole \(\displaystyle{ [P,\ \ Q,\ \ R] = [y, \ \ x,\ \ 1] }\) jest polem potencjalnym.
ODPOWIEDZ