Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{K}^{}ydx+xdy+dz}\) gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest krzywą powstałą w wyniku przecięcia się powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) i leżącą w pierwszym oktancie przestrzeni.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio
Całka jest po półokręgu, we współrzędnych cylindrycznych mamy
\(\displaystyle{ z=xy=R^2\sin\phi\cos\phi}\)
\(\displaystyle{ \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\left[ R\cos\phi \ \dd(R\sin\phi)+R\sin\phi \ \dd(R\cos\phi)+\dd(R^2\sin\phi\cos\phi)\right] =}\)
\(\displaystyle{ =2R^2\int_0^{\pi/2}\left( \cos^2\phi-\sin^2\phi\right)\dd\phi=0 }\)
\(\displaystyle{ z=xy=R^2\sin\phi\cos\phi}\)
\(\displaystyle{ \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\left[ R\cos\phi \ \dd(R\sin\phi)+R\sin\phi \ \dd(R\cos\phi)+\dd(R^2\sin\phi\cos\phi)\right] =}\)
\(\displaystyle{ =2R^2\int_0^{\pi/2}\left( \cos^2\phi-\sin^2\phi\right)\dd\phi=0 }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio
Jest to całka po ćwierć okręgu. Można też zauważyć, że pole \(\displaystyle{ [P,\ \ Q,\ \ R] = [y, \ \ x,\ \ 1] }\) jest polem potencjalnym.