Witam, jutro egzamin, a ja do tej pory nie rozumiem tw. Greena.
Mam takie zadanie:
Wykorzystując tw. Greena oblicz całkę krzywoliniową skierowaną:
\(\displaystyle{ \int (y^{4} + \sqrt{x+1}) dx + (x^{2} - cos y + 5y) dy}\), gdzie obszar C jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru zawartym między krzywymi \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}, y=x}\).
Bardzo proszę o rozwiązanie tego zadania, jeśli to możliwe to z opisem poszczególnych kroków.
_____
" - pilne !" - ozdobnik?!
bolo
Twierdzenie Greena
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Twierdzenie Greena
Czy mam najpierw policzyć pochodną po y z wyrażenia \(\displaystyle{ y^{4}+\sqrt{x+1}}\), a potem pochodną po x z wyrażenia \(\displaystyle{ x^2-cos y +5y}\) ? Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ? Chodzi o to że trzeba zapisać całkę podwójną, przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Twierdzenie Greena
Tak, ale uważaj co od czego odejmujesz.paicey pisze:Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ?
Przedewszystkim musisz wiedzieć jaki obszar ograniczają podane krzywe - naszkicuj go i oblicz punkty przecięcia się krzywych.paicey pisze:przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 74 razy
Twierdzenie Greena
\(\displaystyle{ P = y^4 + \sqrt{x+1}\ \to\ P_y = 4y^3\\Q = x^2-\cos y +5y\ \to\ Q_x = 2x}\)
\(\displaystyle{ I = t_0^1\int_x^{\sqrt{x}} (2x - 4y^3)dxdy = t_0^1 (2xy - y^4)|_x^{\sqrt{x}} dx = t_0^1 (2x\sqrt{x}-x^2 - 2x^2 + x^4)dx}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Twierdzenie Greena
Wychodzi że wykresy przecinają się w punktach (0,0) i (1,1). Wiem jak wygląda ten obszar, od dołu ograniczony jest prostą y=x, od góry krzywą \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\). Jeśli chodzi o pochodne to odejmujemy od tej drugiej pierwszą. Sęk w tym że nie wiem jak zapisać teraz tą całkę podwójną, może to w tym momencie rzecz najprostsza, dlatego jeśli ktoś mógłby mi pokazać, byłbym naprawdę wdzięczny.
____________________________________________
Dziękuję, pospieszyłem się z odpowiedzią
____________________________________________
Dziękuję, pospieszyłem się z odpowiedzią