Matematyka.pl

Witam, jutro egzamin, a ja do tej pory nie rozumiem tw. Greena.

Mam takie zadanie:

Wykorzystując tw. Greena oblicz całkę krzywoliniową skierowaną:
\(\displaystyle{ \int (y^{4} + \sqrt{x+1}) dx + (x^{2} - cos y + 5y) dy}\), gdzie obszar C jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru zawartym między krzywymi \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}, y=x}\).

Bardzo proszę o rozwiązanie tego zadania, jeśli to możliwe to z opisem poszczególnych kroków.

_____
" - pilne !" - ozdobnik?!
bolo

W czym tkwi problem
Nieznajomość wzoru?, nieumiejętność policzenia pochodnych?, problem z policzeniem całki?

Czy mam najpierw policzyć pochodną po y z wyrażenia \(\displaystyle{ y^{4}+\sqrt{x+1}}\), a potem pochodną po x z wyrażenia \(\displaystyle{ x^2-cos y +5y}\) ? Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ? Chodzi o to że trzeba zapisać całkę podwójną, przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.

paicey pisze:Czy potem zapisać całkę jako różnica tych pochodnych ?

Tak, ale uważaj co od czego odejmujesz.

paicey pisze:przede wszystkim nie wiem jak obliczyć (odczytać?) obszar całkowania.

Przedewszystkim musisz wiedzieć jaki obszar ograniczają podane krzywe - naszkicuj go i oblicz punkty przecięcia się krzywych.

\(\displaystyle{ P = y^4 + \sqrt{x+1}\ \to\ P_y = 4y^3\\Q = x^2-\cos y +5y\ \to\ Q_x = 2x}\)

\(\displaystyle{ I = t_0^1\int_x^{\sqrt{x}} (2x - 4y^3)dxdy = t_0^1 (2xy - y^4)|_x^{\sqrt{x}} dx = t_0^1 (2x\sqrt{x}-x^2 - 2x^2 + x^4)dx}\)

Wychodzi że wykresy przecinają się w punktach (0,0) i (1,1). Wiem jak wygląda ten obszar, od dołu ograniczony jest prostą y=x, od góry krzywą \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\). Jeśli chodzi o pochodne to odejmujemy od tej drugiej pierwszą. Sęk w tym że nie wiem jak zapisać teraz tą całkę podwójną, może to w tym momencie rzecz najprostsza, dlatego jeśli ktoś mógłby mi pokazać, byłbym naprawdę wdzięczny.
____________________________________________
Dziękuję, pospieszyłem się z odpowiedzią