Operator gwiazdkowy Hodge'a/izomorfizm *

[PLrc]

Próbuję zrozumieć operator gwiazdkowy Hodge'a/izomorfizm *. Thirring definiuje go jako odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ ^*:\ \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)}\), gdzie M - n-wymiarowa rozmaitość (pseudo)riemannowska, dane dla form bazowych wzorem:
\(\displaystyle{ ^*e^{i_1\ldots i_k}:=g^{i_1 j_1}\ldots g^{i_k j_k}e^{j_{k+1}\ldots j_n} \varepsilon _{j_1 \ldots j_n} \frac{\sqrt{\left| g\right|} }{(n-k)!},}\)
gdzie \(\displaystyle{ e^{i_1\ldots i_k}:=e^{i_1} \wedge \ldots \wedge e^{i_k}}\), oraz \(\displaystyle{ g:=\det (g_{ij})}\), i rozszerza na wszystkie formy za pomocą liniowości.

Pierwsze pytanie: jak rozumiem w definicji jest użyta taka baza \(\displaystyle{ (e^i)}\), że: \(\displaystyle{ g=g_{ij} e^i \otimes e^j}\)?

Może dla skupienia uwagi weźmy sobie rozmaitość trójwymiarową i obliczmy \(\displaystyle{ ^*e^i:}\)
\(\displaystyle{ ^*e^i=g^{ij}e^{kl} \varepsilon_{jkl} \frac{\sqrt{\left| g\right| }}{2!}}\).
O ile dobrze rozumiem, to wszystko jedno w jakiej bazie obliczamy ten izomorfizm, więc równie dobrze w innej bazie będę miał:
\(\displaystyle{ ^*\overline{e}^i=\overline{g}^{ij}\overline{e}^{kl} \varepsilon_{jkl} \frac{\sqrt{\left| \overline{g}\right| }}{2!}}\)?

Próbuję dojść do tego wzoru, za pomocą zmiany bazy:
\(\displaystyle{ e^i=(\overline{e}^j)A^i_{\ j}}\), \(\displaystyle{ g_{ij}=\overline{g}_{kl}A^k_{\ i} A^l_{\ j}}\).
\(\displaystyle{ \det(g_{ij})}\) transformuje się, zdaje się, w następujący sposób: \(\displaystyle{ \det(\overline{g}_{ij})=\det(g_{ij})(\det A)^2,\ A:=(A^i_{\ j})}\), ale mam problem z \(\displaystyle{ e^{i_1}\wedge\ldots \wedge e^{i_k}}\). Jak toto się właściwie "transformuje" przy zmianie bazy?

[AiDi]

Podstaw po prostu \(\displaystyle{ e^i=(\overline{e}^j)A^i_{\ j}}\) to zobaczysz

[PLrc]

Zgłupiałem kompletnie Niby mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem zewnętrznym:
\(\displaystyle{ (c\omega)\wedge \eta=\omega \wedge (c\eta)=c(\omega \wedge \eta)}\),
ale w prawie "transformacyjnym" n-formy na n-wymiarowej rozmaitości musi się chyba pojawić wyznacznik macierzy zmiany bazy:
\(\displaystyle{ e^{i_1}\wedge \ldots \wedge e^{i_n}=\det A \overline e ^{i_1}\wedge \ldots \wedge \overline e^{i_n},}\)
po to żeby całka z n-formy mogła być niezależna od mapy.

Zresztą coś mi się nie zgadza nawet dla 1-formy na dwuwymiarowej rozmaitości:

\(\displaystyle{ ^*e^i=g^{ij}e^k\varepsilon _{jk} \sqrt{\left| g\right| } , \ e^i=A^i_{\ l} \overline e^l,\ g^{ij}=A^i_{\ m} A^j_{\ n}\overline g ^{mn},\ e^k=A^k_{\ o} \overline e^o}\).
\(\displaystyle{ A^i_{\ l} {}^* \overline e^l=A^i_{\ m} A^j_{\ n}\overline g ^{mn}A^k_{\ o} \overline e^o\varepsilon_{jk} \frac{ \sqrt{ \left| \overline g\right| }}{\left| \det A\right| }}\)
Jak sobie to pomnożę przez \(\displaystyle{ (A^{-1})^p_{\ i}}\) i wysumuję to dostanę:
\(\displaystyle{ ^*\overline e^p=A^j_{\ n}A^k_{\ o} \overline g^{pn} \overline e^o \varepsilon _{jk} \frac{ \sqrt{ \left| \overline g\right|} }{\left| \det A\right| }}\).
Pałętają mi się jeszcze te dwie macierze \(\displaystyle{ A}\) i chyba brakuje \(\displaystyle{ \det A}\), po to, żebym dostał
\(\displaystyle{ ^*\overline e^i=\overline g^{ij}\overline e^k\varepsilon _{jk} \sqrt{\left| g\right| }}\) z dokładnością do znaku.