Obliczyć całke krzywoliniową niezorientowana po łuku

[alek1292]

Mam problem z pewnym przykładem. W odpowiedzi wychodzi \(\displaystyle{ 8}\) . Oto przykład:

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } \cdot \mbox{d}l}\)
\(\displaystyle{ L:x ^{2}+y ^{2}=2 \cdot x}\)

Przechodze na współrzędne biegunowe
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ r=2 \cdot \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \lambda\left( \alpha \right)=\left( r \cdot \cos \alpha ,r \cdot \sin \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ \lambda'=\left( \alpha \right) \left( -r \cdot \sin \alpha ,r \cdot \cos \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ \ \sqrt{ r ^{2}\cos ^{2 } \alpha +r ^{2} \sin ^{2} \alpha }=r}\)

No jak by ten okrąg narysowac to fi zmienia się od zera do \(\displaystyle{ 2\pi}\)
\(\displaystyle{ \int_{0 }^{2 \cdot \pi}r ^{2} \mbox{d} \alpha}\) mi po policzeniu wychodzi że jest \(\displaystyle{ -2 \cdot\pi}\). Niestety nie moge znaleźć błędu.

[miodzio1988]

Złą parametryzacje masz

Proponuję przesuniete wspolrzedne biegunowe

[squared]

Czemu tak dziwnie parametryzujesz, właściwie źle to robisz. Tak zrób:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x \Leftrightarrow (x-1)^2 +y^2 = 1\\
\begin{cases} x = \cos t + 1\\ y = \sin t \\t\in[0,2\pi] \end{cases}}\)

I z takim podstawieniem spróbuj to policzyć. Wyjdzie dość łatwo.

[alek1292]

przechodzenie na współrzędne biegunowe rozumiem przez cos takiego : \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha, y=r \cdot \sin \alpha}\) Dzięki za pomoc

-- 7 mar 2015, o 16:40 --

\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x \Leftrightarrow (x-1)^2 +y^2 = 1\\
\begin{cases} x = \cos t + 1\\ y = \sin t \\ t\in[0,2\pi] \end{cases}}\)

Nie do końca rozumiem skąd się to wzięło czy jeśli r przykładowo wynosiłoby 2 to czy ten układ przyjałby taką postać ?
\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x \Leftrightarrow (x-1)^2 +y^2 = 1\\
\begin{cases} x = 2 \cdot \cos t + 1\\ y = 2 \cdot \sin t \\ t\in[0,2\pi] \end{cases}}\)

[squared]

Jeśli \(\displaystyle{ r}\) to promień okręgu, \(\displaystyle{ (a,b)}\) współrzędne środka okręgu, mamy taką parametryzację:

\(\displaystyle{ \\ \begin{cases} x = r \cdot \cos t + a\\ y =r \cdot \sin t + b \\ t\in[0,2\pi] \end{cases}}\)

Przy czym np. z takiej postaci \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=2 \cdot x}\) nie znasz ani promienia, ani współrzędnych środka okręgu, musisz to poprzekształcać zawsze tak jak pokazałem.

[alek1292]

No dobra z tymi wiadomościami mogę na nowo przystąpić do liczenia. Mam wiec:

\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2 \cdot x}\) do tego podstawiam parametryzacje z 1 postu wyżej

\(\displaystyle{ (r \cdot \cos( \alpha )+1) ^{2}+r ^{2} \cdot \sin ^{2}( \alpha )=2 \cdot r\cos\left( \alpha \right)+2}\)
i stad wychodzi ze r=1
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \cdot \pi } \sqrt{\left( r \cdot \cos\left( t\right)+1 \right) ^{2} +r ^{2} \cdot \sin ^{2}\left( t\right) } \cdot 2 \mbox{d}t}\)
Wstawiam te r=1 do calki. Licze pochodna z x i y następnie długość wektora którego współrzędne składają sie z pochodnych . Wychodzi 2.
\(\displaystyle{ 2 \cdot \int_{0}^{2 \cdot \pi } \sqrt{2 \cdot \cos\left( \alpha \right) +2} \mbox{d}t}\)
Niestety licząc ta całkę wychodzi zupełnie inny wynik niż 8. Gdzie jest błąd?

[squared]

Zły wzór stosujesz pod całką. Masz mieć (to na czerwono zawsze występuje przy przejściu z całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą, to drugie, to wyrażenie, które miałeś pod całką ono zostaje):

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}\ \red{ \sqrt{(x')^2+(y')^2}} =\sqrt{(\cos t + 1)^2+\sin^2 t} \ \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2} = \sqrt{\cos ^2 t+2\cos t+1+\sin ^2 t} = \sqrt{2\cos t + 2} = \sqrt{2} \sqrt{\cos t + 1}}\)

Masz zatem taką całkę: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \cdot \pi } \sqrt{2} \sqrt{\cos t + 1}\mbox{d}t = \red 8}\)

I masz upragnioną ósemkę.

Wstawiam te r=1 do calki. Licze pochodna z x i y następnie długość wektora którego współrzędne składają sie z pochodnych . Wychodzi 2.

No, źle, bo wychodzi jeden z tego . I wtedy wszystko wychodzi tak jak ma być, również w Twoich obliczeniach. Przy czym są one w mojej ocenie skomplikowane, przecież to co ja podałem jest klarowne. Nie umiesz przekształcić równania okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2 \cdot x}\) do postaci \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}\)? Bo chyba w tym leży Twój problem.