Twierdzenie Gaussa. Podział na obszary normalne.

[tadu983]

Chciałem się zapytać czy w przypadku twierdzenia Gaussa:
\(\displaystyle{ \iint\limits_S (X\; dy dz + Y\; dz dx + Z\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial X \over \partial x} + {\partial Y \over \partial y} + {\partial Z \over \partial z} \right)\; dx dy dz}\)
można zawsze podzielić obszar \(\displaystyle{ V}\) na obszary normalne względem płaszczyzn układu? (Tak samo jak w przypadku twierdzenia Greena gdzie dzieli się obszar na obszary normalne względem obu osi). Wydaje mi się że nie ale nie jestem pewien.

[szw1710]

Zawsze to pewnie nie. Stawiasz pytanie zbyt ogólnie. Ale w praktyce występują obszary, które podzielić można. A Tobie właśnie o to chodzi. Jeśli się da podzielić, to zachodzi wzór Gaussa-Ostrogradskiego.

[tadu983]

Jeszcze tylko dla pewności się dopytam czy obszar ten musi być normalny względem trzech płaszczyzn \(\displaystyle{ Oxy}\), \(\displaystyle{ Oyz}\) i \(\displaystyle{ Ozx}\) jednocześnie ?

[szw1710]

Takie jest założenie do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Inna kwestia na ile jest ono istotne, tzn. czy względnie łatwo podać przykład obszaru nie będącego normalnym względem jakiejś płaszczyzny i pola wektorowego, dla gtórego wzór G-O nie zachodzi.

[tadu983]

Nie bardzo rozumiem. Czy mogę zastosować tw. G-O dla obszaru który jest normalny dla powiedzmy dla płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxz}\), \(\displaystyle{ Oyz}\) ale nie jest dla \(\displaystyle{ Oxy}\)?
Będę wtedy liczył np taką całkę:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{D_{XiZ}} \, dx\,dz \int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)} \left( {\partial X \over \partial x} +{\partial Y \over \partial y} + {\partial Z \over \partial z} \right)\; dy}\) ,gdzie \(\displaystyle{ D_{XiZ}}\) jest rzutem obszaru na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\).

[szw1710]

Chodziło mi o kontrprzykład, czyli przykład na istotność założenia normalności względem każdej płaszczyzny.

[tadu983]

Czyli o to czy istnieje przykład obszaru który nie jest normalny względem jakiejś płaszczyzny a wzór G-O dla takiego obszaru zachodzi?
Reasumując :
Stosując wzór G-O muszę sprawdzić normalność obszaru względem każdej płaszczyzny. Ale może zdarzyć się przykład gdzie obszar nie jest normalny względem pewnej płaszczyzny a wzór G-O będzie zachodził.

Czy dobrze rozumiem ?

[szw1710]

Czyli o to czy istnieje przykład obszaru który nie jest normalny względem jakiejś płaszczyzny a wzór G-O dla takiego obszaru zachodzi?

Przykład, że wtedy wzór G-O nie zachodzi. Taki przykład pokazywałby istotność założenia normalności względem każdej płaszczyzny układu.

Stosując wzór G-O muszę sprawdzić normalność obszaru względem każdej płaszczyzny. Ale może zdarzyć się przykład gdzie obszar nie jest normalny względem pewnej płaszczyzny a wzór G-O będzie zachodził.

Sądzę, że tutaj dobrze zrozumiałeś. Zauważ, że jeśli pole wektorowe jest zerowe, to wzór G-O zachodzi niezależnie od tego jaki jest obszar