wzór greena

[kobolt1]

Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
\(\displaystyle{ \int_{L}^{}y ^{2} dx +3xydy}\)
gdzie L jest brzegiem obszaru zawartego między krzywymi \(\displaystyle{ y= \sqrt{x} , y= x^{2}}\)

czy dobrze zrobiłem to zadanie?

\(\displaystyle{ \int_L Pdx+Qdy= \int_{D}^{} \int_{}^{} ( \frac{dQ}{dx}- \frac{dP}{dx})=***}\)

\(\displaystyle{ P(x,y)= y^{2}}\)
\(\displaystyle{ Q(x,y)=3xy}\)

\(\displaystyle{ \frac{dP}{dy}=2y}\)
\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dx}=3y}\)
\(\displaystyle{ ***= \int_{D}^{} \int_{}^{}=(3y-2y)dxdy= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}y dxdy
=\int_{0}^{1}ydy= \frac{1}{2}}\)

[yorgin]

Jak się ma to:

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} dx +3xydy}\)

do tego

\(\displaystyle{ P(x,y)= y^{2}}\)

i tego

\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int_{}^{}=(3y-2y)dxdy}\)

oraz skąd takie a nie inne granice całkowania?

[kobolt1]

już poprawiłem w pierwszym równaniu na \(\displaystyle{ y ^{2}}\)
wybrałem punkty przecięcia tych dwóch funkcji

[yorgin]

Ok, teraz pochodne są dobrze.

Co do granic - wyznaczyłeś punkty przecięcia. Jak więc liczy się całkę ze wzoru Greena? Co to ma wspólnego z punktami przecięcia?

[kobolt1]

ze wzoru greena otrzymałem
\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int_{}^{}=y dxdy}\)
a "D" jest to obszar po którym całkuję,

nie wiem jak określić poprawnie te granicę, przykład zrobiłem analogicznie z innym

[yorgin]

Granice są określone przez krzywe \(\displaystyle{ y=x^2}\) oraz \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\). A raczej - to obszar \(\displaystyle{ D}\) jest ograniczony tymi krzywymi.

[kobolt1]

jeśli tak to może będą wyglądać w ten sposób
\(\displaystyle{ \int_{x ^{2} }^{ \sqrt{x} } \int_{ \sqrt{x} }^{ x^{2} } y dxdy}\)

[yorgin]

Źle. W jaki sposób \(\displaystyle{ x}\) może zmieniać się w zależności od \(\displaystyle{ x}\)?

[kobolt1]

a czy granica dy jest chociaż dobrze określona?

[yorgin]

A co to jest granica dy?

Może chodzi o granicę igreków? Jeśli tak, to dobrze jest wyznaczona.

[kobolt1]

x zmienia się od 0 do 1 więc to mogą być granice
?

[yorgin]

Nie tylko mogą, ale są nimi.

Ostateczna postać całki?

[kobolt1]

\(\displaystyle{ \int_{x ^{2} }^{ \sqrt{x} } \int_{0}^{1}ydxdy= \int_{x ^{2} }^{ \sqrt{x} } ydy=}\)

[yorgin]

Dobrze. Ile teraz ta całka wynosi?

[kobolt1]

\(\displaystyle{ \int_{x ^{2} }^{ \sqrt{x} } ydy= \frac{x}{2} - \frac{x ^{4} }{2}}\)