Twierdzenie Green'a - obszar D
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 16 lis 2008, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
Witam, mam przy użyciu twierdzenia Green'a rozwiązać poniższe zadanie:
\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy}\)
okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) zorientowany dodatnio
\(\displaystyle{ \oint P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_{D}( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y})dxdy}\)
Mam zatem coś takiego:
\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy=\iint_{D}( x^2+y^2)dxdy}\)
I w tym miejscu mam pytanie - w jaki sposób wyznaczyć obszar D, żeby wyliczyć całkę podwójną? Dodam tylko, że wynikiem tego zadania jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi R^4}{2}}\).
\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy}\)
okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) zorientowany dodatnio
\(\displaystyle{ \oint P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_{D}( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y})dxdy}\)
Mam zatem coś takiego:
\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy=\iint_{D}( x^2+y^2)dxdy}\)
I w tym miejscu mam pytanie - w jaki sposób wyznaczyć obszar D, żeby wyliczyć całkę podwójną? Dodam tylko, że wynikiem tego zadania jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi R^4}{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 16 lis 2008, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
huh... to nie było zbyt odkrywcze stwierdzenie jak dla mnie - ponieważ to akurat wiem.
mam właśnie problem z dokladnym wyznaczenim tego obszaru aby uzyskac porzadany wynik.
edit:
możliwe że niezbyt precyzyjnie się określiłem, chodzi mi o granice całkowania...
mam właśnie problem z dokladnym wyznaczenim tego obszaru aby uzyskac porzadany wynik.
edit:
możliwe że niezbyt precyzyjnie się określiłem, chodzi mi o granice całkowania...
Twierdzenie Green'a - obszar D
Proponowałbym sparametryzować ten okrąg, obliczyć całkę podwójną (pamiętając o jakobianie) i wynik wychodzi właśnie taki, jak podałeś.
Granice to oczywiście <0,2PI>x<0,R>
Granice to oczywiście <0,2PI>x<0,R>
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 16 lis 2008, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
nie wychodzi mi. ciagle jakies bzdury, bo ciagle o czymś zapominam:
\(\displaystyle{ \oint (Pdx +Qdx)dxdy = \iint_{D} ( (\partial Q / \partial x) - (\partial P / \partial y)) =}\)
\(\displaystyle{ =\iint_{D} (1 + y^2 - 1 + x^2 )dxdy = \iint_{D} (y^2 + x^2) dxdy = \int_{0}^{2\pi} dx \int_{0}^{R} (x^2+y^2)dy}\)
no i to już są bzdury kompletne.
mogę to jeszcze zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \iint_{D}R^2}\) (po przekształceniu sinusów i cosinusów ale to jest tym bardziej głupie bo wtedy nie wiem po czym całkować, napewno po \(\displaystyle{ dt}\) ale po czym jeszce to już nie wiem.
\(\displaystyle{ \oint (Pdx +Qdx)dxdy = \iint_{D} ( (\partial Q / \partial x) - (\partial P / \partial y)) =}\)
\(\displaystyle{ =\iint_{D} (1 + y^2 - 1 + x^2 )dxdy = \iint_{D} (y^2 + x^2) dxdy = \int_{0}^{2\pi} dx \int_{0}^{R} (x^2+y^2)dy}\)
no i to już są bzdury kompletne.
mogę to jeszcze zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \iint_{D}R^2}\) (po przekształceniu sinusów i cosinusów ale to jest tym bardziej głupie bo wtedy nie wiem po czym całkować, napewno po \(\displaystyle{ dt}\) ale po czym jeszce to już nie wiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
No gościu, jak parametryzujesz, to przecież za x i y musisz wstawić parametryzację. Słusznie dostajesz całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{R} r^{3} dr}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{R} r^{3} dr}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 16 lis 2008, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
czyli jest to zwykla całka po wspolrzednych biegunowych?
(wzor Rogal'a, powinienym jeszcze pomnozyc prez \(\displaystyle{ r}\) i po prostu wyliczyc?)
(wzor Rogal'a, powinienym jeszcze pomnozyc prez \(\displaystyle{ r}\) i po prostu wyliczyc?)
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
- Pomógł: 8 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
tak, powinno byc r^3, jesli uwzglednimy jakobian. wynik taki jak podales na poczatku.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Twierdzenie Green'a - obszar D
Łops, jakoś tak mi w głowie się ubzdurało, że tam pod całką jest pierwiastek z sumy kwadratów i pomnożyłem przez jakobian...
Cóż, powinno oczywiście być r do trzeciej, już poprawiam.
Cóż, powinno oczywiście być r do trzeciej, już poprawiam.