Twierdzenie Green'a - obszar D

[h4tt0ri]

Witam, mam przy użyciu twierdzenia Green'a rozwiązać poniższe zadanie:

\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy}\)

okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) zorientowany dodatnio

\(\displaystyle{ \oint P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_{D}( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y})dxdy}\)

Mam zatem coś takiego:

\(\displaystyle{ \oint (1-x^2)ydx+x(1+y^2)dy=\iint_{D}( x^2+y^2)dxdy}\)

I w tym miejscu mam pytanie - w jaki sposób wyznaczyć obszar D, żeby wyliczyć całkę podwójną? Dodam tylko, że wynikiem tego zadania jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi R^4}{2}}\).

[Rogal]

Obszarem D z twierdzenia Greena jest obszar, który zamyka krzywa po której całkujesz.

[h4tt0ri]

huh... to nie było zbyt odkrywcze stwierdzenie jak dla mnie - ponieważ to akurat wiem.
mam właśnie problem z dokladnym wyznaczenim tego obszaru aby uzyskac porzadany wynik.

edit:
możliwe że niezbyt precyzyjnie się określiłem, chodzi mi o granice całkowania...

[Michu72]

Proponowałbym sparametryzować ten okrąg, obliczyć całkę podwójną (pamiętając o jakobianie) i wynik wychodzi właśnie taki, jak podałeś.
Granice to oczywiście <0,2PI>x<0,R>

[h4tt0ri]

nie wychodzi mi. ciagle jakies bzdury, bo ciagle o czymś zapominam:

\(\displaystyle{ \oint (Pdx +Qdx)dxdy = \iint_{D} ( (\partial Q / \partial x) - (\partial P / \partial y)) =}\)
\(\displaystyle{ =\iint_{D} (1 + y^2 - 1 + x^2 )dxdy = \iint_{D} (y^2 + x^2) dxdy = \int_{0}^{2\pi} dx \int_{0}^{R} (x^2+y^2)dy}\)

no i to już są bzdury kompletne.

mogę to jeszcze zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \iint_{D}R^2}\) (po przekształceniu sinusów i cosinusów ale to jest tym bardziej głupie bo wtedy nie wiem po czym całkować, napewno po \(\displaystyle{ dt}\) ale po czym jeszce to już nie wiem.

[Rogal]

No gościu, jak parametryzujesz, to przecież za x i y musisz wstawić parametryzację. Słusznie dostajesz całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{R} r^{3} dr}\)

[luka52]

Rogal, a jakobian gdzie? poszedł się bawić?

[h4tt0ri]

czyli jest to zwykla całka po wspolrzednych biegunowych?
(wzor Rogal'a, powinienym jeszcze pomnozyc prez \(\displaystyle{ r}\) i po prostu wyliczyc?)

[suervan]

tak, powinno byc r^3, jesli uwzglednimy jakobian. wynik taki jak podales na poczatku.

[Rogal]

Łops, jakoś tak mi w głowie się ubzdurało, że tam pod całką jest pierwiastek z sumy kwadratów i pomnożyłem przez jakobian...
Cóż, powinno oczywiście być r do trzeciej, już poprawiam.