Miara zbioru

[kt26420]

Niech \(\displaystyle{ A = \{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1, 1 − |x| \le y\}}\). Wyznaczyć miarę zbioru \(\displaystyle{ A}\) i obliczyć całki
(a)\(\displaystyle{ \int_{A}(xy+2)d\lambda_2(x,y)}\);
(b)\(\displaystyle{ \int_{A}y \quad d\lambda_2(x,y)}\);

Proszę o pomoc, probuję najpierw znaleźć miarę zbioru i nie jestem pewna, że dobrze to robię:

Znalazłam jak wygląda takie pole (tzn przecięcie dwóch zbiorów), otrzymałam że to jest pole koła o promieniu 1 (środek w (0, 0))
z wyciętym trójkątem(równoramiennym) o podstawie 2, wysokości 1,

Czyli miara to : \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (\pi - 2) }\) ?

[Janusz Tracz]

Czyli miara to : \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (\pi - 2) }\) ?

Tak. Co do całek to zamieniłbym na całki iterowane. Ogólnie

\(\displaystyle{ \int_{A}^{} f(x,y)\,\dd \lambda_2(x,y)= \int_{-1}^{0} \int_{x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } f(x,y) \dd y \dd x+ \int_{0}^{1} \int_{-x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } f(x,y) \dd y \dd x. }\)

A jeśli obliczenia będą straszne można spróbować zamienić to na współrzędne biegunowe.

[kt26420]

A czy muszę jeszcze coś pokazywać (może powiedzieć coś o tej miarze), czy mogę od razu tak przejść do tego, że ta miara to jest określone powyżej pole?

[Janusz Tracz]

To zależy od tego co jest od Ciebie wymagane. Ja domyślnie założyłem, że \(\displaystyle{ \lambda_2}\) to dwuwymiarowa miara Lebesgue'a. Oczywiście z formalnego punktu widzenia zbiór \(\displaystyle{ A}\) powinien być mierzalny. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest Borelowskim podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\) wszak jest to przekrój przeciwobrazów zbiorów mierzalnych przez funkcje mierzalne:

\(\displaystyle{ \begin{split}
A & = \{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1, 1 − |x| \le y\} \\
& =\{(x, y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1\} \cap \{(x, y) \in \RR^2: 1 − |x| \le y\} \\
&= \xi^{-1}\left[ \left(-\infty , 1\right] \right] \cap \eta^{-1} \left[ \left[ 1,\infty \right) \right],
\end{split}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \xi(x,y)=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ \eta(x,y)=y+|x|}\). Poza tym funkcja którą całkujesz też powinna być mierzalna. Co do pola to policzyłem je na palcach bez żadnych twierdzeń ale jeśli chciałbym być maksymalnie formalny to próbował bym skorzystać z Twierdzenia Fubiniego (w ogólnej postaci) wszak funkcja \(\displaystyle{ \chi_{A}:[-1,1]^2\to \RR }\) jest całkowalna względem miary produktowej \(\displaystyle{ \lambda_2=\lambda\otimes \lambda }\) jako, że jest mierzalna i ograniczona. Więc

\(\displaystyle{ \lambda_2(A)= \int_{[-1,1]^2}^{} \chi_{A}(x,y) \, \dd \lambda_2 (x,y) = \int_{-1}^{0} \int_{x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } \dd y \dd x+ \int_{0}^{1} \int_{-x+1}^{ \sqrt{1-x^2} } \dd y \dd x }\)

i po żmudnych obliczeniach powinno wyjść to co można policzyć na palcach. Tak jak mówiłem. Nie wiem jakiego stopnia formalności się od Ciebie oczekuje. Starałem się być trochę bardziej formalny ale po drodze przemilczałem i pewnie zapomniałem o pewnych niuansach więc sprawdzenie wszystkich założeń zostawiam jako ćwiczenie dla chętnych.

[kt26420]

A jeśli to robić współrzędnymi biegunowymi to promień jest od \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) do \(\displaystyle{ 1 }\) i kąt od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)?

[Janusz Tracz]

Promień nie może być od \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) bo po pierwsze to jest więcej niż \(\displaystyle{ 1}\), a po drugie i ważniejsze dolna granica całkowania to będzie się zmieniać w zależności od kąta. Nie całkujesz po wycinku pierścienia. Z moich obliczeń:

\(\displaystyle{ \phi\in [0,\pi/2] \qquad \& \qquad \frac{1}{\sin \phi + \cos \phi} \le r \le 1,}\)

\(\displaystyle{ \phi\in [\pi/2,\pi] \qquad \& \qquad \frac{1}{\sin \phi- \cos \phi} \le r \le 1.}\)