Niech \(\displaystyle{ f,F}\) będą funkcjami \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) mierzalnymi z przestrzeni \(\displaystyle{ (X,\mathcal{M},\mu)}\).
Powiemy, że dowolna funkcja \(\displaystyle{ F : X → \mathbb{R}}\) jest całkowalna względem miary \(\displaystyle{ \mu}\), jeśli istnieje ciąg funkcji prostych właściwych \(\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^\infty}\), \(\displaystyle{ f_n : X → \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}}\), zbieżny punktowo do funkcji \(\displaystyle{ F}\) w \(\displaystyle{ X}\) spełniający warunek
\(\displaystyle{ \int_X \lvert| f_n-F\rvert|_\mathbb{R}d\mu\xrightarrow{n\to\infty}0}\).
Przyjmujemy wówczas
\(\displaystyle{ \int_X F d\mu:= \lim_{ n\to\infty }\int_X f_n d\mu.}\)
Pytanie jest następujące.Czy to poprawna definicja? Jeśli tak, to jak interpretować wartość pierwszej całki? \(\displaystyle{ c_n \cdot \mu(X)}\)?
