Natknąłem się ostatnio na następujące stwierdzenie (bez dowodu):
Jeśli \(\displaystyle{ \mu,\nu: \Sigma \rightarrow [0,\infty)}\) są miarami skończonymi na tej samej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), to istnieje zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E_0}\) taki, że \(\displaystyle{ \nu(E_0)=0}\) oraz miara \(\displaystyle{ \mu'}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \mu'(E)=\mu(E\setminus E_0)}\) jest bezwzględnie ciągła względem \(\displaystyle{ \nu}\).
Niestety nie udało mi się samodzielnie tego pokazać. Nie wiem też, czy jest to jakiś powszechnie znany fakt. Proszę o pomoc.
Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
Mi się kojarzy
Hahn decomposition theorem
PS Nie wiem czy to skojarzenie jest dobre ale to była pierwsza rzecz o jakiej pomyślałem. Jeśli to Ci się nie przyda lub znasz to twierdzenie to sorki.
Kod: Zaznacz cały
en.wikipedia.org/wiki/Hahn_decomposition_theorem
PS Nie wiem czy to skojarzenie jest dobre ale to była pierwsza rzecz o jakiej pomyślałem. Jeśli to Ci się nie przyda lub znasz to twierdzenie to sorki.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
Znam to twierdzenie i nijak się ono tutaj nie przydaje, bo moje miary już z założenia są nieujemne.
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
To jest zdaje się rozkład Lebesgue'a. Taką nazwę kojarzę. Tak też nazywa się ten fakt (być może niesłusznie) w notatkach z teorii miary, ale pamiętam, że gdy je pisałem, to sprawdzałem dosyć szczegółowo źródła.
$$\mathcal{F} = \{A\in \Sigma\,\mid\,\nu(A)=0\mbox{ oraz }\mu(A)>0\}$$
Niech
$$\alpha = \sup_{A\in \mathcal{F}}\mu(A)$$
wtedy \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). Wówczas istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) elementów \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) taki, że
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\mu(A_n) = \alpha$$
Weźmy
$$E_0 = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$$
Łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ \mu(E_0) = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \nu(E_0) = 0}\). Stąd już wynika, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest poszukiwanym zbiorem.
Poza tym nie jestem wcale taki pewny, że nie da się rozkładu Lebesgue'a otrzymać z twr. Hahna-Jordana (pomijając, że brzmi to trochę niezdarnie z punktu widzenia logiki formalnej). Stosowałbym po prostu rozkład Hahna-Jordana do ciągu miar
$$\nu_n = \mu - n\cdot \nu$$
przy \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) i wziąłbym przecięcie zbiorów dodatnich – to powinno dać \(\displaystyle{ E_0}\).
Dowód wygląda następująco. Weźmy$$\mathcal{F} = \{A\in \Sigma\,\mid\,\nu(A)=0\mbox{ oraz }\mu(A)>0\}$$
Niech
$$\alpha = \sup_{A\in \mathcal{F}}\mu(A)$$
wtedy \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). Wówczas istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) elementów \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) taki, że
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\mu(A_n) = \alpha$$
Weźmy
$$E_0 = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$$
Łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ \mu(E_0) = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \nu(E_0) = 0}\). Stąd już wynika, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest poszukiwanym zbiorem.
Poza tym nie jestem wcale taki pewny, że nie da się rozkładu Lebesgue'a otrzymać z twr. Hahna-Jordana (pomijając, że brzmi to trochę niezdarnie z punktu widzenia logiki formalnej). Stosowałbym po prostu rozkład Hahna-Jordana do ciągu miar
$$\nu_n = \mu - n\cdot \nu$$
przy \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) i wziąłbym przecięcie zbiorów dodatnich – to powinno dać \(\displaystyle{ E_0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
Udowodnienie, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest dobrym zbiorem nie chce pójść. BIorę zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ \nu(E)=0}\). Jak stąd wyciągnąć \(\displaystyle{ \mu(E\setminus E_0)=0}\) ?
Mam wrażenie, że dobranie \(\displaystyle{ E_0}\) w ten sposób nie zadziała i mam nawet pomysł, żeby dobrać go inaczej tzn. zastosować taką hipotetyczną własność:
Hipoteza. Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą skończoną, a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest rodziną zbiorów o dodatniej mierze, to istnieje przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal{E}\subseteq \mathcal{F}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}}\) istnieje \(\displaystyle{ E\in\mathcal{E}}\) taki, że \(\displaystyle{ E\cap F\neq \emptyset}\).
Czy komuś wiadomo coś na temat mojej hipotezy? Czy może jednak da się dokończyć ten dowód tak jak proponuje Slup?
Mam wrażenie, że dobranie \(\displaystyle{ E_0}\) w ten sposób nie zadziała i mam nawet pomysł, żeby dobrać go inaczej tzn. zastosować taką hipotetyczną własność:
Hipoteza. Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą skończoną, a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest rodziną zbiorów o dodatniej mierze, to istnieje przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal{E}\subseteq \mathcal{F}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}}\) istnieje \(\displaystyle{ E\in\mathcal{E}}\) taki, że \(\displaystyle{ E\cap F\neq \emptyset}\).
Czy komuś wiadomo coś na temat mojej hipotezy? Czy może jednak da się dokończyć ten dowód tak jak proponuje Slup?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary
Gdyby \(\displaystyle{ \mu(E \setminus E_0) > 0}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ \nu(E \cup E_0) = 0}\) mielibyśmy
\(\displaystyle{ \alpha \ge \mu(E \cup E_0) = \mu(E \setminus E_0) + \mu(E_0) > \mu(E_0)}\),
co jest sprzeczne z udowodnionym wcześniej warunkiem \(\displaystyle{ \mu(E_0) = \alpha}\).
To się robi tak samo: niechmatmatmm pisze: ↑16 maja 2022, o 12:59Hipoteza. Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą skończoną, a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest rodziną zbiorów o dodatniej mierze, to istnieje przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal{E}\subseteq \mathcal{F}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}}\) istnieje \(\displaystyle{ E\in\mathcal{E}}\) taki, że \(\displaystyle{ E\cap F\neq \emptyset}\).
\(\displaystyle{ \alpha = \sup \left\{ \mu \left( \bigcup \mathcal{E} \right) : \mathcal{E} \subseteq \mathcal{F} \text{ jest przeliczalna} \right\}}\)
i weźmy ciąg przeliczalnych rodzin \(\displaystyle{ \mathcal{E}_n \subseteq \mathcal{F}}\), taki że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mu \left( \bigcup \mathcal{E}_n \right) = \alpha}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{E} := \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{E}_n \subseteq \mathcal{F}}\) jest przeliczalna i \(\displaystyle{ \mu \left( \bigcup \mathcal{E} \right) = \alpha}\). Stąd już wynika, że \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) jest poszukiwaną rodziną.