Obliczyć miarę Lebesgue'a

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Obliczyć miarę Lebesgue'a

Post autor: elos1534 »

Czy ktoś mógłby zerknąć okiem na te rozwiązania i ocenić ich poprawność? Ewentualnie wspomóc w rozwiązaniu?

Zbadać czy poniższe zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Obliczyć miarę Lebesgue’a pod-zbiorów A i B zbioru R. Odpowiedzi uzasadnić powołując się na odpowiednie własności miary Lebesgue’a.

a) \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=0}^{ \infty } (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) }\)

b) \(\displaystyle{ B = \left\{ \frac{1}{2k}, k \in \mathbb{N} \right\} }\)

Jeśli chodzi o a) to wydaje mi się:

\(\displaystyle{ m (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) = \frac{1}{5} }\)

I teraz korzystając z addytywności:

\(\displaystyle{ m(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} = \infty}\)

b)

Wydaje mi się, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem punktowym, więc wiedząc, że miara takiego zbioru jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ m(B) = 0}\). Chodzi mi oczywiście o addytywność, bo gdy zsumuje się miarę zbiorów \(\displaystyle{ B_{i} }\), gdzie każda miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to całość też będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a

Post autor: Dasio11 »

Póki co wszystko jest poprawne, ale nie jest jasne, czym są zbiory \(\displaystyle{ B_i}\) ani co to jest zbiór punktowy.
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a

Post autor: elos1534 »

Miałem myśl by zbiór \(\displaystyle{ B}\) zapisać jako:

\(\displaystyle{ B= \bigcup_{k=1}^{ \infty } B _{k} }\)

Wtedy zbiór \(\displaystyle{ B }\) składa się z podzbiorów \(\displaystyle{ B _{k} }\), które są jednoelementowe, czyli ich miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tylko nie wiem czy to jest dobra droga.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a

Post autor: Dasio11 »

Jeśli dopiszesz że \(\displaystyle{ B_k = \left\{ \frac{1}{2k} \right\}}\), to będzie ok.
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a

Post autor: elos1534 »

Super, dziękuję pięknie za pomoc.
ODPOWIEDZ