Tw. o zbieżności monotonicznej

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: mmss » 12 maja 2021, o 09:13

Czy w twierdzeniu Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej konieczne jest to aby ciąg był rosnący? Czy nie może być malejący ? Mam tu na myśli taką granicę :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} (1+\frac{x}{n})^{n} e^{-n\pi} }\). Patrząc na granicę wyrażenia podcałkowego, przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), dostajemy ciąg nierosnący. Jak tutaj zastosować tw. o zbieżności monotonicznej?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2021, o 09:44

Na pewno chodziło o coś takiego? W sensie \(\displaystyle{ e^{-n\pi}}\) w całce nie ma znaczenia więc można je wyciągnąć, a całkę bez problemu policzyć (podstawieniem \(\displaystyle{ s=1+x/n}\))

\(\displaystyle{ \int_{0}^{n}\left( 1+\frac{x}{n}^{n} \right) e^{-\pi n} \dd x =e^{-n\pi} \int_{0}^{n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n} \dd x = e^{-\pi n}\frac{ n}{n+1}\cdot \left(2^{n+1}-1\right)\to 0}\)

Poza tym wydaje mi się, że tu nie można tak od razu skorzystać z twierdzeń Lebesgue’a. Zauważ, że nie liczysz całki po jednym ustalonym \(\displaystyle{ \RR_+}\) tylko po powiększającym się przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,n\right] }\) (dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\)). Więc nie masz sytuacji gdzie przestrzenią miarową jest ustalona \(\displaystyle{ \left( \RR_+,\mathcal{Bor}\left( \RR_+\right),\lambda \right) }\) tylko cała przestrzeń miarowa się zmiana wraz z \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ \left( [0,n],\mathcal{Bor}\left( [0,n]\right),\lambda \right) }\). Być może da się to obejść szacowaniem ale pierwszy spód wydaje się znacznie rozsądniejszy.

mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: mmss » 12 maja 2021, o 09:48

Bardzo dziękuję za odpowiedź i przepraszam za mój błąd, oczywiście chodziło o \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}(1+\frac{x}{n})^{n}e^{-x\pi} dx}\)

Dodano po 1 godzinie 18 minutach 54 sekundach:
I moje pytanie wzięło się stąd, bo wyrażenie podcałkowe jest malejące....

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2021, o 11:10

W takim razie niech \(\displaystyle{ f_n(x)=\left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi}}\) na \(\displaystyle{ \RR_+}\). Zauważmy teraz dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\) fundacja \(\displaystyle{ f_n}\) jest ciągła więc jest mierzalna, ponad to \(\displaystyle{ \left( \forall x\in\RR_+\right) 0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le f_3(x) \le ...}\) (to wymaga dowodu), widać, że punktowo ten ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_n(x)}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(x)=e^{x-\pi x}}\). Zatem z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ \infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x = \int_{0}^{ \infty } e^{x-\pi x} \dd x = \frac{1}{\pi -1} }\)

teraz zauważmy, że ciąg \(\displaystyle{ c_n= \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x}\) jest rosnący i ograniczony (to wymaga dowodu) więc ma granicę ponad to zachodzą nierówności

\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\NN\right) \left( \forall p<n\right) \int_{0}^{ p} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \int_{0}^{ \infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x}\)

zatem, gdy \(\displaystyle{ n\to \infty }\) to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej i twierdzenia o zachowaniu nierówności mamy

\(\displaystyle{ \left( \forall p\in \NN \right) \int_{0}^{ p} e^{x-\pi x} \dd x \le \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \frac{1}{\pi-1} }\)

teraz, gdy \(\displaystyle{ p\to \infty }\) dostaniemy z na mocy trzech ciągów, że

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x = \frac{1}{\pi-1} }\)

PS to jest raczej szkic, nie widzę dużych dziur w tym rozumowaniu. Jednak pewne podane tu fakty są bez dowodu i to zdecydowanie wymaga dopracowania.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1532
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 457 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: Tmkk » 12 maja 2021, o 11:19

@Janusz Tracz,

Czy ten cały problem z całką na przedziale \(\displaystyle{ [0,n]}\) nie można po prostu załatwić poprzez napisanie

\(\displaystyle{ \int_0^{n} f_n(x)\mbox{d}x = \int_0^\infty f_n(x)1_{[0,n]}(x)\mbox{d}x}\)?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2021, o 11:33

Można (prawie na pewno). Ale ja tego nie zauważyłem...

mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: mmss » 14 maja 2021, o 13:03

Janusz Tracz pisze:
12 maja 2021, o 11:10
\(\displaystyle{ \left( \forall x\in\RR_+\right) 0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le f_3(x) \le ...}\) (to wymaga dowodu), widać, że punktowo ten ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_n(x)}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(x)=e^{x-\pi x}}\). Zatem z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
Bardzo dziękuję za pomoc, ale czemu rozważamy tylko \(\displaystyle{ x \in\RR_+}\)? Dla \(\displaystyle{ x}\) dążących do \(\displaystyle{ -\infty}\) nasze wyrażenie pod całką jest nieograniczone więc i zbieżność punktowa nam się psuje...

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: Janusz Tracz » 14 maja 2021, o 13:07

Całka jest po \(\displaystyle{ \left[ 0,\infty\right) }\) więc \(\displaystyle{ x \ge 0}\).

mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Tw. o zbieżności monotonicznej

Post autor: mmss » 14 maja 2021, o 13:09

Faktycznie, to wszystko wyjaśnia, dziękuje ponownie.

ODPOWIEDZ