W takim razie niech
\(\displaystyle{ f_n(x)=\left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi}}\) na
\(\displaystyle{ \RR_+}\). Zauważmy teraz dla każdego
\(\displaystyle{ n\in \NN}\) fundacja
\(\displaystyle{ f_n}\) jest ciągła więc jest mierzalna, ponad to
\(\displaystyle{ \left( \forall x\in\RR_+\right) 0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le f_3(x) \le ...}\) (to wymaga dowodu), widać, że punktowo ten ciąg funkcyjny
\(\displaystyle{ f_n(x)}\) zbiega do
\(\displaystyle{ f(x)=e^{x-\pi x}}\). Zatem z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ \infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x = \int_{0}^{ \infty } e^{x-\pi x} \dd x = \frac{1}{\pi -1} }\)
teraz zauważmy, że ciąg
\(\displaystyle{ c_n= \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x}\) jest rosnący i ograniczony (to wymaga dowodu) więc ma granicę ponad to zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\NN\right) \left( \forall p<n\right) \int_{0}^{ p} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \int_{0}^{ \infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x}\)
zatem, gdy
\(\displaystyle{ n\to \infty }\) to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej i twierdzenia o zachowaniu nierówności mamy
\(\displaystyle{ \left( \forall p\in \NN \right) \int_{0}^{ p} e^{x-\pi x} \dd x \le \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x \le \frac{1}{\pi-1} }\)
teraz, gdy
\(\displaystyle{ p\to \infty }\) dostaniemy z na mocy trzech ciągów, że
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \int_{0}^{ n} \left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x\pi} \dd x = \frac{1}{\pi-1} }\)
PS to jest raczej szkic, nie widzę dużych dziur w tym rozumowaniu. Jednak pewne podane tu fakty są bez dowodu i to zdecydowanie wymaga dopracowania.