Całka Lebesgue'a

[madzioba]

Cześć! Mam problem z takim oto zadaniem. Jeśli to możliwe, prosiłabym o rozwiązanie wraz z wyjaśnieniem. Za wszelką pomoc dziękuję.

Niech \(\displaystyle{ X =\left[0,\pi\right]}\) , \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\mathcal{B}([0, \pi]) }\) oraz dla \(\displaystyle{ A\in\mathcal{S}}\) niech \(\displaystyle{ \mu(A)=\smallint_A \sin xdx}\).
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \smallint_E fd\mu}\).

a) \(\displaystyle{ f(x)=x^2,~E=[0,\pi]}\)

b) \(\displaystyle{ f(x)=\sin x,~E=\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{8}\right]}\)

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ \mathfrak{P}}\) to rodzina podziałów \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) dopuszczalnych przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,\pi\right] }\). Dla podziału \(\displaystyle{ \mathcal{P}\in \mathfrak{P}}\) definiujemy sumy całkowe funkcji \(\displaystyle{ f}\) górną i dolną:

\(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}\right) = \sum_{A\in \mathcal{P}} \sup_{x\in A}f(x)\cdot \mu(A) }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}\right) = \sum_{A\in \mathcal{P}} \inf_{x\in A}f(x)\cdot \mu(A) }\)

pokażę, że \(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon>0\right)\left( \exists \mathcal{P}\in \mathfrak{P} \right)\left( \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}\right)- \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}\right)<\epsilon\right) }\) czyli innymi słowy \(\displaystyle{ \sup_{\mathcal{P}\in \mathfrak{P} }\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}\right)=\inf_{\mathcal{P}\in \mathfrak{P} }\mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}\right)}\). Wspólną wartość tych kresów nazywamy całką Lebesgue'a. Ustalmy więc \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) oraz podział:

\(\displaystyle{ \mathcal{P}_{n}=\left\{ \left[ 0, \frac{\pi}{n} \right), \left[ \frac{\pi}{n}, \frac{2\pi}{n} \right),..., \left[ \frac{k\pi}{n} , \frac{(k+1)\pi}{n} \right),...,\left[\frac{(n-1)\pi}{n} ,\pi\right] \right\} }\)

Wtedy korzystając z monotoniczności \(\displaystyle{ x^2}\) oraz zerowej miary \(\displaystyle{ \mu}\) na singletonach zapisujemy:

\(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right)^2 \cdot \mu\left( \left[ \frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n}\right] \right)=\sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{(k+1)\pi}{n} \right)^2 \cdot \int_{ \frac{k\pi}{n} }^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x\dd x }\)

\(\displaystyle{ =\sum _{k=0}^{n-1} \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)^2 \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right)}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k\pi}{n} \right)^2 \cdot \mu\left( \left[ \frac{k\pi}{n},\frac{(k+1)\pi}{n}\right] \right) =\sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k\pi}{n} \right)^2 \cdot \int_{ \frac{k\pi}{n} }^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x\dd x }\)

\(\displaystyle{ =\sum _{k=0}^{n-1} \left(\frac{\pi k}{n}\right)^2 \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right)}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) -\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right)=\sum _{k=0}^{n-1} \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)^2 \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right)-\sum _{k=0}^{n-1} \left(\frac{\pi k}{n}\right)^2 \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right) }\)

\(\displaystyle{ =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{\pi ^2 (2 k+1) }{n^2} \cdot \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right)}\)

Lemat. Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \sum _{k=0}^{n-1}\frac{\pi ^2 (2 k+1) }{n^2} \cdot \left(\cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)-\cos \left(\frac{\pi (k+1)}{n}\right)\right)= \frac{2\pi^2}{n} }\)

dowód:    

Formalnie nie przeliczyłem ale powinno wyjść...

Może się przydadzą takie pomniejsze fakty:

\(\displaystyle{ \sum _{k=0}^{n-1} \cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)=1}\)

\(\displaystyle{ \sum _{k=0}^{n-1}k \cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{1}{2} \left(n- \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sum _{k=0}^{n-1}k^2 \cos \left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{1}{2} n\left(n- \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)} \right)}\)

Zatem na mocy lematu mamy \(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) -\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right)=2\pi^2/n}\). Dlatego biorąc \(\displaystyle{ n \in \NN }\) takie, żeby przy ustalonym wcześniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) zaszło \(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) -\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right)<\epsilon}\) musimy wybierać \(\displaystyle{ n>2\pi^2/\epsilon }\). Faktycznie więc prawdą jest, że: \(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon>0\right)\left( \exists \mathcal{P}\in \mathfrak{P} \right)\left( \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}\right)- \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}\right)<\epsilon\right) }\) wszak dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) bierzemy \(\displaystyle{ n=\left[ 2\pi^2/\epsilon\right] +1 }\) i podział \(\displaystyle{ \mathcal{P}_n}\) jak wyżej. Policzmy teraz (korzysając z lematu, a dokładniej szkicu jego dowodu) jawne wzory na sumy całkowe. Poza tym sprawdźmy do czego dążą ów sumy, gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\). Mianowicie:

\(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) =\frac{\pi ^2 \left(n^2+n+1- \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)} \right)}{n^2}\:\xrightarrow[]{n\to\infty}\: \pi^2-4}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) =\frac{\pi ^2 \left(n^2-n+1- \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)} \right)}{n^2}\:\xrightarrow[]{n\to\infty}\: \pi^2-4}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \int_{\left[ 0,\pi\right] }x^2 \dd \mu=\pi^2-4 }\)

Chociaż chwila... teraz zauważyłem, że to chyba z twierdzenia Radona-Nikodýma powinno dać się zrobić. Pochodna Radona-Nikodýma \(\displaystyle{ \dd \mu =\sin x\dd x}\) więc wystarczy policzyć:

\(\displaystyle{ \int_{\left[ 0,\pi\right] }^{} x^2\dd \mu=\int_{0 }^{\pi} x^2\sin x\dd x}\)

to sprawdź czy założenia twierdzenia Radona-Nikodýma są spełnione. I policz całkę.

[Bran]

Mam pytanie, dlaczego nie mogę po prostu zamienić tej całki na całkę Riemanna?
Ciągłość mamy, chyba wszystko mamy.

[Janusz Tracz]

po prostu

Co to znaczy po prostu? Rozwiń myśl. Jeśli przez po prostu rozumiesz twierdzenie o zamianie miary (+ garść technicznych faktów) to tak. O tym napisałem na samym końcu. Jak dotarło do mnie, że Twierdzenie Radona-Nikodýma działa.