Całka Lebesgue'a różne definicje

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Całka Lebesgue'a różne definicje

Post autor: Milczek »

Cześć,

czy mógłby ktoś rozjaśnić, czemu dwie poniższe definicje całki Lebesgue'a są równoważne?
Mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\) gdzie \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieniem. Jako że jest to przestrzeń mierzalna to \(\displaystyle{ X \in \Sigma}\) a więc nasz zbiór \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem?
Definicja I :

Niech \(\displaystyle{ E \subset X}\). Funkcja charakterystyczna zbioru \(\displaystyle{ E}\) definiujemy jako \(\displaystyle{ K(x) = \begin{cases} 1, x \in E \\ 0 , x \notin E \end{cases}
}\)


Definiujemy funkcją prostą \(\displaystyle{ s(x) = \sum^{n}_{i = 1} c_{i}K_{E_{i}}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ E_{i} = \left\{ x | s(x) = c_{i} \right\} }\)
oraz przyjmujemy że \(\displaystyle{ I_{E} = \sum^{n}_{i = 1} c_{i} \mu(E \cap E_{i})}\). Wydaje mi się że nie musi być prawdą że \(\displaystyle{ E_{i} \subset E}\)? Możemy definiować sobie całkę na zbiorze \(\displaystyle{ E}\) dlatego bierzemy takie przecięcie.

Całka :Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie mierzalna i nieujemna. Wtedy \(\displaystyle{ \int_{E} fd\mu = \sup I_{E}(s)}\) gdzie supremum jest brane bo wszystkich mierzalnych funkcjach prostych \(\displaystyle{ s}\) takich że \(\displaystyle{ 0 \le s \le f}\)

Zapewne w idei tej całki jest taka że każdą funkcję mierzlaną możemy przybliżać ciągiem funkcji prostych, mierzalnych gdzie ten ciąg jest rosnący (czyli przybliżamy od dołu funkcję \(\displaystyle{ f}\)). I z tym braniem supremum chodzi o to abyśmy zbliżali się naszymi funkcjami \(\displaystyle{ s(x)}\) jak najbardziej do funkcji \(\displaystyle{ f}\) a potem liczymy \(\displaystyle{ I}\) które jest po prostu sumą wartości \(\displaystyle{ c_{i}}\) razy miary zbiorów \(\displaystyle{ E_{i}}\) dla których funkcja charakterystyczna tych zbiorów nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

Pytanie : Mamy też taką definicje, niech \(\displaystyle{ P}\) będzie rozbiciem mierzalnym zbioru \(\displaystyle{ E}\) czyli \(\displaystyle{ P = \left\{ P_{i} | \bigcup_{i = 1}^{n} P_{i} = E, P_{i} \cap P_{j} = \emptyset \text{ gdy } i\neq j \right\} }\). Uwaga, \(\displaystyle{ P}\) to skończona rodzina zbiorów mierzalnych.

Wtedy \(\displaystyle{ s_{d} = \sum^{n}_{i = 1} \inf f_{|P_{i}} \mu(P_{i}) }\) gdzie \(\displaystyle{ d}\) oznacza że jest to 'suma dolna'.

Wtedy mamy \(\displaystyle{ \int_{E} f d\mu = \sup\left\{ s_{d}(f,P) : P \text{ jest rozbiciem mierzalnym zbioru } E\right\}}\)

W tej definicji mamy jakieś supremum z infinum czyli robimy takie rozbicie zbioru aby \(\displaystyle{ s_{d}}\) miało \(\displaystyle{ \inf}\) a potem chcemy zrobić \(\displaystyle{ \sup}\) z tego najmniejszego \(\displaystyle{ s_{d}}\). Dlaczego? I w jaki sposób to jest równoważne definicji całki powyżej? W poprzedniej definicji bierzemy wrzystkie możliwe \(\displaystyle{ s \le f}\) i supremum na przybliży nasze \(\displaystyle{ f}\). Niestety nie rozumiem trochę po co te operacje powyżej (w II definicji). Dodatkowo, czemu tutaj nie korzystam w ogóle funkcji prostych tylko od razu z \(\displaystyle{ f}\)? Czy może być tak że \(\displaystyle{ f_{|P_{i}}}\) to \(\displaystyle{ c_{i}}\) w poprzedniej definicji? Ale przecież aby zrobić funkcję prostą nie musimy znać funkcji \(\displaystyle{ f}\) i to podejście jest w poprzedniej definicji. Do funkcji prostej wystarczy nam tylko znajomość zbioru wartości dowolnej funcji.


Bardzo dziękuję za pomoc i dyskusję.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Całka Lebesgue'a różne definicje

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Cześć, jeśli dobrze rozumiem, to dla każdej funkcji prostej, która jest mniejsza lub równa danej funkcji można wybrać nie mniejszą od niej funkcję prostą, która wciąż jest mniejsza lub równa danej funkcji, i którą da się zapisać w postaci odpowiedniego
\(\displaystyle{ \sum_i \inf f_{|P_{i}} K_{P_{i}}}\),
i vice-versa, każde
\(\displaystyle{ \sum_i \inf f_{|P_{i}} K_{P_{i}}}\)
jest funkcją prostą mniejszą lub równą danej funkcji.

P.S.
Po przeczytaniu poniższego fragmentu mam wątpliwość, czy dobrze rozumiesz definicję. Pewnie miałeś co innego na myśli, ale jeśli nie, to daj znać, bo wtedy trzeba wytłumaczyć.
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Ale przecież aby zrobić funkcję prostą nie musimy znać funkcji \(\displaystyle{ f}\) i to podejście jest w poprzedniej definicji. Do funkcji prostej wystarczy nam tylko znajomość zbioru wartości dowolnej funcji.
Dodano po 2 godzinach 39 minutach 33 sekundach:
Zrobiłem rysunek w TikZ, który może coś wyjaśnić , ale nie udało mi się go uruchomić na forum (kiedyś wydaje mi się działały takie rysunki, ale może się coś zmieniło w tym zakresie), więc wrzucam kod - możesz sobie sam skompilować (jak nie masz texa u siebie, to można w jakimś edytorze online, np. ja korzystam z overleaf).
Ukryta treść:    
Czerwona krzywa na rysunku obrazuje funkcję \(\displaystyle{ f}\), kolorowe odcinki na osi symbolizują pewne rozbicie mierzalne (mamy trzy zbiory - niebieski, zielony i czerwony). Czarna funkcja to funkcja prosta z pierwszej definicji - zauważ, że ma być ona mniejsza równa \(\displaystyle{ f}\), więc faktycznie od niej zależy. Ponadto z tą funkcją związane są zbiory mierzalne, na których przyjmuje odpowiednie wartości \(\displaystyle{ c_i}\). Dla naszego konkretnego wyboru zbiorów, takich funkcji jest wiele (można te czarne linie suwać góra dół, ale nie możemy ich przesunąć za wysoko, jeśli funkcja prosta ma być mniejsza równa funkcji \(\displaystyle{ f}\)). Na fioletowo narysowałem funkcję prostą, z którą nie możemy już nigdzie pójść do góry, i to jest funkcja prosta związana z drugą definicją, tj.
\(\displaystyle{ \sum_{i} \inf f_{|P_i} K_{P_i}}\)
(w definicji się ona bezpośrednio nie pojawia, ale tak naprawdę masz tam całki \(\displaystyle{ s_d}\) z takich funkcji prostych).
Teraz jeśli policzymy "pola pod naszymi funkcjami", czyli odpowiednie sumy (na rysunku narysowałem dla czarnej funkcji prostej), to jest to pewne przybliżenie wartości całki. No i dalej w obu definicjach bierzemy supremum z tych przybliżeń. W pierwszej po prostu po wszystkich możliwych funkcjach prostych poniżej naszej funkcji, w drugiej po wszystkich rozbiciach mierzalnych (z każdym z nich jest związana pewna funkcja prosta, ta fioletowa).

Podsumowując, zakładając że dobrze rozumuję, druga definicja polega na zawężeniu klasy funkcji prostych, po których potem bierzemy supremum z całek.

Dodano po 41 minutach 34 sekundach:
To jeszcze kilka szczegółów na które zwróciłem uwagę:
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\) gdzie \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieniem. Jako że jest to przestrzeń mierzalna to \(\displaystyle{ X \in \Sigma}\) a więc nasz zbiór \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem?
Prawdę mówiąc, ja znałem tylko definicję z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Jeśli wierzyć wikipedii, to rozpatruje się też w miejsce \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścienie, jeśli nie wymaga się mierzalności całej przestrzeni. Nie wiem jak jest, ale brzmi wiarygodnie. Rozumiem, że wówczas przestrzeń mierzalną definiuje się też z użyciem \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścienia.
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Definiujemy funkcją prostą \(\displaystyle{ s(x) = \sum^{n}_{i = 1} c_{i}K_{E_{i}}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ E_{i} = \left\{ x | s(x) = c_{i} \right\} }\)
oraz przyjmujemy że \(\displaystyle{ I_{E} = \sum^{n}_{i = 1} c_{i} \mu(E \cap E_{i})}\). Wydaje mi się że nie musi być prawdą że \(\displaystyle{ E_{i} \subset E}\)? Możemy definiować sobie całkę na zbiorze \(\displaystyle{ E}\) dlatego bierzemy takie przecięcie.
Tutaj mam trochę wątpliwość. Jeśli \(\displaystyle{ I_{E}}\) ma być poprawnie określone, to musimy od razu rozpatrywać funkcje proste mierzalne. Dla mnie funkcja prosta z definicji jest mierzalna, czyli zakładam że wszystkie \(\displaystyle{ E_i}\) są mierzalne. Ponadto dla wygody w dowodach czasem warto określić "na siłę" \(\displaystyle{ c_0 = 0}\), bo to nam gwarantuje, że zbiory E_i\(\displaystyle{ }\) tworzą to rozbicie mierzalne, o którym jest mowa w drugiej definicji.
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Zapewne w idei tej całki jest taka że każdą funkcję mierzlaną możemy przybliżać ciągiem funkcji prostych, mierzalnych gdzie ten ciąg jest rosnący (czyli przybliżamy od dołu funkcję \(\displaystyle{ f}\)). I z tym braniem supremum chodzi o to abyśmy zbliżali się naszymi funkcjami \(\displaystyle{ s(x)}\) jak najbardziej do funkcji \(\displaystyle{ f}\) a potem liczymy \(\displaystyle{ I}\) które jest po prostu sumą wartości \(\displaystyle{ c_{i}}\) razy miary zbiorów \(\displaystyle{ E_{i}}\) dla których funkcja charakterystyczna tych zbiorów nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
Też to tak rozumiem z wyjątkiem fragmentu "dla których funkcja charakterystyczna tych zbiorów nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\)", bo tego to nie rozumiem.

Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 W tej definicji mamy jakieś supremum z infinum czyli robimy takie rozbicie zbioru aby \(\displaystyle{ s_{d}}\) miało \(\displaystyle{ \inf}\)
Co to ma znaczyć? \(\displaystyle{ s_{d}}\) nie ma \(\displaystyle{ \inf}\), tylko jest określone przy pomocy \(\displaystyle{ \inf}\) z \(\displaystyle{ f}\), dla danego rozbicia i danej funkcji to jest konkretna liczba (przybliżenie naszej całki).
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 a potem chcemy zrobić \(\displaystyle{ \sup}\) z tego najmniejszego \(\displaystyle{ s_{d}}\). Dlaczego?
To nie tak. Nie ma nigdzie najmniejszego \(\displaystyle{ s_d}\), ono przy konkretnym wyborze rozbicia jest jedno.
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Dodatkowo, czemu tutaj nie korzystam w ogóle funkcji prostych tylko od razu z \(\displaystyle{ f}\)?
Tak naprawdę się korzysta, napisałem o tym wyżej.
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Czy może być tak że \(\displaystyle{ f_{|P_{i}}}\) to \(\displaystyle{ c_{i}}\) w poprzedniej definicji?
Nie, bo pierwsze to funkcja, a drugie to liczba, ale przy użyciu tego zawężenia funkcji znajdujemy odpowiednie \(\displaystyle{ c_{i}}\) - biorąc infimum jej wartości na zbiorze \(\displaystyle{ P_i}\).
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Ale przecież aby zrobić funkcję prostą nie musimy znać funkcji \(\displaystyle{ f}\) i to podejście jest w poprzedniej definicji. Do funkcji prostej wystarczy nam tylko znajomość zbioru wartości dowolnej funcji.
Tutaj jeszcze uściślę to co napisałem na początku - w pierwszej definicji wybieramy funkcje proste, które są ograniczone od góry przez \(\displaystyle{ f}\), więc musimy znać tę funkcję, aby wiedzieć czy dana funkcja prosta jest przez \(\displaystyle{ f}\) ograniczona, czy nie. Gdybyśmy nie musieli znać funkcji, z której liczymy całkę, to coś by było nie halo. Zbiór wartości funkcji nie wystarczy - musimy wiedzieć gdzie te wartości są przyjmowane, aby móc kontrolować, czy nasza funkcja prosta nie przerasta funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Milczek pisze: 19 kwie 2021, o 14:21 Bardzo dziękuję za pomoc i dyskusję.
Mam nadzieję, że coś pomogłem, ale może poczekajmy aż ktoś bardziej ogarnięty sprawdzi czy nie wypisuję bzdur.
Ostatnio zmieniony 22 maja 2021, o 00:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ