Nietrywialne pytanie o warunek Carathéodory'ego

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Nietrywialne pytanie o warunek Carathéodory'ego

Post autor: Milczek »

Dzień dobry, narodziło mi się nagle pytanie z teorii miary związane z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałami zbioru \(\displaystyle{ X}\) które jest generowane przez miarę zewnętrzną.

Wiadomo że rodzina podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) którą oznaczmy jako \(\displaystyle{ A}\), której elementy spełniają warunek Carathéodory'ego dla danej miary \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

Teraz mi się pojawiło takie pytanie :

Mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) (oznaczmy jako A) taką że \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Pytanie : czy zawsze istnieje pewna miara zewnętrzna taka że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.

W skrócie : mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\) która jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Czy istnieje pewna miara zewnętrzna taka że \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.

Bardzo prosze o pomoc bądź wskazówki bądź namiary na materiały. Zadaję to pytanie matematykom z mojego wydziału ale albo otrzymuję wymijające odpowiedzi albo ich brak bądź intuicyjnie mówią "że pewnie nie". Intuicyjnie to mogę powiedzieć że wygląda to na dość mocny fakt i w książkach matematycznych pewnie w miejscu gdzie warunek Carathéodory'ego jest omawiany byłoby to wspomniane że takie coś zachodzi bądź nawet wykazane gdyby to było łatwe - jednak nie uzyskałem wskazówki nawet jak powinniśmy podejść do wykazania fałszywości tego pytania.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: Nietrywialne pytanie o warunek Carathéodory'ego

Post autor: Slup »

Nie powinienem się wypowiadać na ten temat, bo nie zajmuję się matematyką (teoria marksizmu-leninizmu jest według mnie ciekawsza), ale akurat mogę coś w tej sprawie powiedzieć, bo kiedyś się nad tym zastanawiałem.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem i \(\displaystyle{ \mu^*}\) będzie miarą zewnętrzną określoną na podzbiorach \(\displaystyle{ X}\). Przez \(\displaystyle{ \Sigma_{\mu^*}}\) oznaczmy rodzinę zbiorów spełniających warunek Carathéodory'ego. Z twierdzenia Carathéodory'ego wiemy, że
1. \(\displaystyle{ \Sigma_{\mu^*}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą
2. Obcięcie \(\displaystyle{ \mu^*_{\mid \Sigma_{\mu^*}}}\) jest miarą zupełną.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest pewną \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą podzbiorów \(\displaystyle{ X}\).

Twoje pytanie. Czy istnieje \(\displaystyle{ \mu^*}\) takie, że \(\displaystyle{ \Sigma = \Sigma_{\mu^*}}\)?

Zauważmy, że warunkiem koniecznym jest istnienie miary zupełnej \(\displaystyle{ \mu}\) określonej na \(\displaystyle{ \Sigma}\). Okazuje się, że ten warunek jest bardzo bliski warunku dostatecznego. Zachodzi następujące

Twierdzenie. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem i \(\displaystyle{ \Sigma}\) niech będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą jego podzbiorów. Załóżmy, że istnieje miara \(\displaystyle{ \mu:\Sigma \rightarrow [0,+\infty]}\). Definiujemy
$$\mu^*(A) = \inf \bigg\{\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)\bigg|\,\forall_{n\in \mathbb{N}}\,A_n\in \Sigma,\,A\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\bigg\}$$
Wówczas następujące stwierdzenia są prawdziwe:
1. \(\displaystyle{ \mu^*}\) jest miarą zewnętrzną.
2. \(\displaystyle{ \Sigma \subseteq \Sigma_{\mu^*}}\)
3. \(\displaystyle{ \mu^*_{\mid \Sigma} = \mu}\)
4. Dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A\in \Sigma_{\mu^*}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \mu^*(A)<+\infty}\) istnieje zbiór \(\displaystyle{ B\in \Sigma}\) taki, że \(\displaystyle{ A\subseteq B}\) oraz \(\displaystyle{ \mu^*(B\setminus A) = 0}\).


Wniosek 1. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem i \(\displaystyle{ \Sigma}\) niech będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą jego podzbiorów. Załóżmy, że istnieje zupełna miara \(\displaystyle{ \mu:\Sigma \rightarrow [0,+\infty]}\). Wówczas istnieje na \(\displaystyle{ X}\) miara zewnętrzna \(\displaystyle{ \mu^*}\) taka, że
1. \(\displaystyle{ \Sigma \subseteq \Sigma_{\mu^*}}\)
2. Każdy \(\displaystyle{ A\in \Sigma_{\mu^*}}\) taki, że \(\displaystyle{ \mu^*(A) < +\infty}\) jest elementem \(\displaystyle{ \Sigma}\).


Wniosek 2. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem i \(\displaystyle{ \Sigma}\) niech będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą jego podzbiorów. Załóżmy, że istnieje zupełna i \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona miara \(\displaystyle{ \mu:\Sigma \rightarrow [0,+\infty]}\). Wówczas istnieje na \(\displaystyle{ X}\) miara zewnętrzna \(\displaystyle{ \mu^*}\) taka, że \(\displaystyle{ \Sigma = \Sigma_{\mu^*}}\).

Wygląda więc na to, że kontrprzykład wymagałby skonstruowania \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebry, na której nie da się zdefiniować (\(\displaystyle{ \sigma}\)-skończonej) miary zupełnej. Można podać warunek konieczny na istnienie miary zupełnej na dowolnej \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrze w terminach \(\displaystyle{ \sigma}\)-ideałów, spojrzeć na zbiory borelowskie i skorzystać z twr. (zaplutego reakcjonisty) Kuratowskiego w nadziei odnalezienia kontrprzykładu, ale chyba wolę wrócić do lektury "Materializm a empiriokrytycyzm" Lenina.
ODPOWIEDZ