Monotoniczność funkcji a ograniczone wahanie

[mat123]

Czy istnieje funkcja, która ma wahanie ograniczone na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) (tzn. \(\displaystyle{ \in BV([a,b])}\)), a nie jest monotoniczna?
(Wiem, że każda funkcja monotoniczna ma wahanie ograniczone i \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), jednak czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?)

[Dasio11]

Taką funkcją jest na przykład sinus na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2\pi]}\).

[mat123]

A czy istnieje funkcja taka, że \(\displaystyle{ \in BV([a,b])}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), która nie jest monotoniczna?

[a4karo]

nie

[mat123]

W jaki sposób udowodnić, że jeżeli
\(\displaystyle{ f\in BV([a,b])}\) i \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), to funkcja jest monotoniczna?

[a4karo]

Spróbuj samodzielnie. To nie jest trudne.
Wsk
`f(b) - f(a) =f(b) - f(c) +f(c) - f(d) +f(d) - f(a) `