Kryterium Caratheodory'ego

[seraf12]

Hej, mam pewien problem z zadaniem, w którym mam udowodnić, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ E \subset \RR ^{d}}\) oraz \(\displaystyle{ E}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a to dla dowolnego zbioru elementarnego \(\displaystyle{ A}\) zachodzi, że \(\displaystyle{ m(A) = m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)}\).

Zacząłem od określenia \(\displaystyle{ A}\) jako dowolnego zbioru elementarnego zawierającego się w \(\displaystyle{ \RR ^{d}}\) oraz faktu, że \(\displaystyle{ A = (A \cap E) \cup (A \setminus E)}\) czyli z subaddytywności otrzymuję, że \(\displaystyle{ m^{*}(A) \le m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)}\). Rozumiem, że aby dowieść równości \(\displaystyle{ m(A) = m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)}\) muszę wykazać, że nierówność \(\displaystyle{ m^{*}(A) \le m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)}\) można określić w drugą stronę, tj. doprowadzić do zmiany znaku nierówności w drugą stronę. I w tym momencie zaczynają się schody, ponieważ przy wykorzystaniu definicji dla mierzalności zbioru w sensie Lebesgue'a, tj. \(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{A \in \mathcal{O}({\RR}^{d})} m^{*}(A \setminus E) < \varepsilon }\) otrzymuję sprzeczne nierówności i w zasadzie nie wiem jak postępować dalej. Czy pomijam jakieś własności, albo przekształcenia?

Z góry dziękuję za odpowiedź.