Różnica między sigma ciałem a sigma pieścieniem

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Różnica między sigma ciałem a sigma pieścieniem

Post autor: Milczek »

Dzień dobry,

stram się nadrobić niedostatki związane z teorią miary i całki stąd sięgnąłem po książkę "Podstawy analizy matematycznej" Waltera Rudina i tam budowa teorii miary rozpoczyna się od definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieni, jednak wszystkie materiały jakie widziałem przed oczami opierały się o definicję \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał bądź \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr... . Niestety mam niesamowity misz-masz co jest czym.

Czy mógłby ktoś mi odpowiedzieć : czy \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścień jest bardziej ogólnym pojęciem niż \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciało? I czy są sytuację np. rachunek prawdopodobieństwa gdzie \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścienie są zbyt ogólne i dlatego korzysta się z \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciał?

I drugie pytanie to takie : czy \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciało = \(\displaystyle{ \sigma - }\)algebra?

I może trzecie... czemu tak popularne (a może jest to tylko moje wrażenie) jest budowanie teorii miary od definicji \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciała a nie \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścieni? Czy to pierwsze podejście ma jakieś większe zalety?

Dziękuje za odpowiedź/dyskusję.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Różnica między sigma ciałem a sigma pieścieniem

Post autor: matmatmm »

1. Sigma-pierścień jest po prostu czymś innym niż sigma-ciało. Jak rozumiesz sformułowanie, że jeden obiekt matematyczny jest ogólniejszy niż inny obiekt? Jak dla mnie to ogólniejsze może być twierdzenie.

2. Tak, to to samo.

3. Zdecydowanie tak. Sigma-pierścień nie musi być zamknięty na dopełnienia, a na przykład w rachunku prawdopodobieństwa operowanie zdarzeniami przeciwnymi jest niemal nieodzowne.

Do pierwszego pytania pasowałoby określenie, że sigma-pierścień jest pojęciem szerszym niż sigma-ciało.
ODPOWIEDZ