Gęstość i pierwotna

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Gęstość i pierwotna

Post autor: strefa61 »

Nie wiem czy wrzucam w dobrym dziale.
Mamy: jądro \(\displaystyle{ K}\), które jest funkcją symetryczną, nieujemną i \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} = 1}\), czyli jest parzystą gęstością, \(\displaystyle{ \left( X_1,...,X_n\right) }\) - próbę (albo można to potraktować jako po prostu ustalone liczby), \(\displaystyle{ h>0}\)
Oraz estymator jądrowy:
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n}K\left( \frac{x - X_i}{h} \right) }\)
Mam pokazać, że ten estymator jest gęstością, w szczególności, że \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} = 1}\)
Otóż, żeby to pokazać, potrzebuję użyć podstawienia: \(\displaystyle{ \frac{x - X_i}{h} = u}\) i tutaj pojawia się moje pytanie: skąd wiem, że mogę tego podstawienia użyć? Nie widzę nigdzie informacji, że gęstość musi posiadać pierwotną, a taki warunek musiałby być spełniony, jeśli chcę całkować przez podstawienie. Może symetryczność gra tu jakąś rolę, której nie widzę?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Gęstość i pierwotna

Post autor: Dasio11 »

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie można sformułować z dość słabymi założeniami dotyczącymi samej całkowalności. W tej chwili nie pamiętam jakie one dokładnie są, ale na pewno wzór działa kiedy podstawienie jest funkcją liniową, tak jak w Twoim przykładzie.
ODPOWIEDZ