Hej mam pewien proces stochastyczny \(\displaystyle{ X_t}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\) i przyjmuje skok jako \(\displaystyle{ \Delta X_t := X_t-X_{t-}}\). Ponadto proces ten jest stochastycznie ciągły tzn. \(\displaystyle{ \lim_{s\to t}P(|X_s-X_t|>\varepsilon )=0}\). Mam problem ze zrozumieniem dwoch peirwszych nierownosci z nastepujacego przeksztalcenia:
\(\displaystyle{ \begin{align*} \mathbb{P}(|\Delta X_t|>\varepsilon) &\leq \mathbb{P} \bigg( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} \{|X_t-X_{t-1/k}|>\varepsilon/2\} \bigg) \\ &\leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_t-X_{t-1/n}|>\varepsilon/2) = 0 \end{align*}}\)
Moglby ktos wyjasnic w jaki sposob korzystamy tu z lematu Fatou?
Lemat Fatou
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Lemat Fatou
Jak rozumiem zakładamy, że granica \(\displaystyle{ X_{t-}}\) istnieje dla każdego \(\displaystyle{ t>0}\) oraz \(\displaystyle{ \omega\in\Omega}\) ?
Jeśli tak, to dla dowodu pierwszej nierówności wystarczy pokazać, że (przy ustalonych \(\displaystyle{ \varepsilon >0, t>0, \omega\in\Omega}\)) zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ |\Delta X_t|> \varepsilon \implies \bigvee_{n\in\NN}\bigwedge_{k>n,k\in\NN}|X_t-X_{t-\frac{1}{k}}|>\frac{\varepsilon}{2}}\)
Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ |\Delta X_t|> \varepsilon}\). Korzystając z zależności \(\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}X_{t-\frac{1}{m}}= X_{t-}}\) do \(\displaystyle{ \eta =\frac{\varepsilon}{2}>0}\) dobierzmy \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że dla \(\displaystyle{ k>n,k\in\NN}\):
\(\displaystyle{ \left| X_{t-\frac{1}{k}}- X_{t-}\right| <\eta}\)
Wtedy \(\displaystyle{ |X_t-X_{t-\frac{1}{k}}|=\left| X_t-X_{t-}+X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right|\ge \left| \left| X_t-X_{t-}\right| -\left| X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right| \right|= |\Delta X_t|-\left| X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right|>\varepsilon -\frac{\varepsilon}{2} =\frac{\varepsilon}{2} }\)
Jeśli tak, to dla dowodu pierwszej nierówności wystarczy pokazać, że (przy ustalonych \(\displaystyle{ \varepsilon >0, t>0, \omega\in\Omega}\)) zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ |\Delta X_t|> \varepsilon \implies \bigvee_{n\in\NN}\bigwedge_{k>n,k\in\NN}|X_t-X_{t-\frac{1}{k}}|>\frac{\varepsilon}{2}}\)
Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ |\Delta X_t|> \varepsilon}\). Korzystając z zależności \(\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}X_{t-\frac{1}{m}}= X_{t-}}\) do \(\displaystyle{ \eta =\frac{\varepsilon}{2}>0}\) dobierzmy \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że dla \(\displaystyle{ k>n,k\in\NN}\):
\(\displaystyle{ \left| X_{t-\frac{1}{k}}- X_{t-}\right| <\eta}\)
Wtedy \(\displaystyle{ |X_t-X_{t-\frac{1}{k}}|=\left| X_t-X_{t-}+X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right|\ge \left| \left| X_t-X_{t-}\right| -\left| X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right| \right|= |\Delta X_t|-\left| X_{t-}-X_{t-\frac{1}{k}}\right|>\varepsilon -\frac{\varepsilon}{2} =\frac{\varepsilon}{2} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 27 paź 2019, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Podziękował: 8 razy
Re: Lemat Fatou
Dzięki, a mógłbyś rozpisać ta druga nierówność żeby było wszystko jasne skąd się ona bierze?
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Lemat Fatou
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi
\(\displaystyle{ \left| |x|-|y|\right|\le |x+y| }\)
Jeśli chodzi o dowód, to zauważmy, że nierówność jest równoważna następującej koniunkcji:
\(\displaystyle{ -|x+y|\le |x|-|y| \le |x+y|}\)
co z kolei jest równoważne:
\(\displaystyle{ |y|\le |x|+|x+y| \wedge |x|\le |y|+|x+y| }\)
Z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |y|=|x+y-x|\le |x+y|+|-x|=|x|+|x+y|}\)
i analogicznie \(\displaystyle{ |x|\le |y|+|x+y|}\).
\(\displaystyle{ \left| |x|-|y|\right|\le |x+y| }\)
Jeśli chodzi o dowód, to zauważmy, że nierówność jest równoważna następującej koniunkcji:
\(\displaystyle{ -|x+y|\le |x|-|y| \le |x+y|}\)
co z kolei jest równoważne:
\(\displaystyle{ |y|\le |x|+|x+y| \wedge |x|\le |y|+|x+y| }\)
Z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |y|=|x+y-x|\le |x+y|+|-x|=|x|+|x+y|}\)
i analogicznie \(\displaystyle{ |x|\le |y|+|x+y|}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 27 paź 2019, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Podziękował: 8 razy
Re: Lemat Fatou
Chodziło mi o tą nierówność która ja napisałem w pierwszym poście gdzie granica wychodzi przed prawdopodobieństwo W jaki sposób w tym przejściu korzystamy z lematu Fatou
Kod: Zaznacz cały
https://pl.m.wikipedia.org/wiki/Lemat_Fatou
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 790
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Lemat Fatou
Dla podzbioru \(\displaystyle{ B\subseteq \Omega}\) niech
$$\chi_B= \begin{cases}1&\mbox{ dla }\omega\in B\\
0 &\mbox{ dla }\omega \not \in B\\
\end{cases}$$
Kładziesz
$$A_k = \big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}$$
oraz
$$A = \bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}A_k$$
Wówczas zachodzi \(\displaystyle{ \chi_A = \liminf_{k\rightarrow +\infty}\chi_{A_k}}\) i ponadto wszystkie te funkcje są nieujemne. Zatem z lematu Fatou
$$P\bigg(\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}\big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}\bigg) = P(A) = \int_{\Omega}\chi_AdP =$$
$$= \int_{\Omega}\liminf_{k\rightarrow +\infty}\chi_{A_k}dP \leq \liminf_{k\rightarrow +\infty}\int_{\Omega}\chi_{A_k}dP = \liminf_{k\rightarrow +\infty}P(A_k) = \liminf_{k\rightarrow +\infty}P\bigg(\big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}\bigg)$$
$$\chi_B= \begin{cases}1&\mbox{ dla }\omega\in B\\
0 &\mbox{ dla }\omega \not \in B\\
\end{cases}$$
Kładziesz
$$A_k = \big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}$$
oraz
$$A = \bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}A_k$$
Wówczas zachodzi \(\displaystyle{ \chi_A = \liminf_{k\rightarrow +\infty}\chi_{A_k}}\) i ponadto wszystkie te funkcje są nieujemne. Zatem z lematu Fatou
$$P\bigg(\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}\big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}\bigg) = P(A) = \int_{\Omega}\chi_AdP =$$
$$= \int_{\Omega}\liminf_{k\rightarrow +\infty}\chi_{A_k}dP \leq \liminf_{k\rightarrow +\infty}\int_{\Omega}\chi_{A_k}dP = \liminf_{k\rightarrow +\infty}P(A_k) = \liminf_{k\rightarrow +\infty}P\bigg(\big\{\omega\,\big|\,|X_t(\omega)-X_{t-\frac{1}{k}}(\omega)|>\frac{\epsilon}{2} \big\}\bigg)$$