Udowodnić, że jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0, to każdy jego podzbiór jest mierzalny w sensie Jordana (i ma miarę 0).
Jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0 to \(\displaystyle{ m_{*} (E)=m^{*} (E)=m(E)=0}\). Niech \(\displaystyle{ F \subset E}\) wtedy z własności miary Jordana \(\displaystyle{ m_{*} (F) \le m_{*} (E) }\) oraz \(\displaystyle{ m^{*} (F) \le m^{*} (E)}\). Wiemy, że miara zbioru E wynosi 0 zatem
\(\displaystyle{ m_{*} (F) \le 0}\) i \(\displaystyle{ m^{*} (F) \le 0 }\) a ponieważ miara nie może być ujemna więc \(\displaystyle{ m_{*} (F)=m^{*} (F)=0}\). Z definicji miary Jordana dany zbiór jest mierzalny jeśli jego miara wewnętrzna i zewnętrzna są sobie równe więc \(\displaystyle{ m_{*} (F)=m^{*} (F)=m(F)=0}\).
Czy taki dowód jest poprawny? Jeśli nie to co powinnam dodać/zmienić?