Miara Jordana

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
El3na
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 2 kwie 2019, o 15:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Miara Jordana

Post autor: El3na »

Udowodnić, że jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0, to każdy jego podzbiór jest mierzalny w sensie Jordana (i ma miarę 0).

Jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0 to \(\displaystyle{ m_{*} (E)=m^{*} (E)=m(E)=0}\). Niech \(\displaystyle{ F \subset E}\) wtedy z własności miary Jordana \(\displaystyle{ m_{*} (F) \le m_{*} (E) }\) oraz \(\displaystyle{ m^{*} (F) \le m^{*} (E)}\). Wiemy, że miara zbioru E wynosi 0 zatem
\(\displaystyle{ m_{*} (F) \le 0}\) i \(\displaystyle{ m^{*} (F) \le 0 }\) a ponieważ miara nie może być ujemna więc \(\displaystyle{ m_{*} (F)=m^{*} (F)=0}\). Z definicji miary Jordana dany zbiór jest mierzalny jeśli jego miara wewnętrzna i zewnętrzna są sobie równe więc \(\displaystyle{ m_{*} (F)=m^{*} (F)=m(F)=0}\).

Czy taki dowód jest poprawny? Jeśli nie to co powinnam dodać/zmienić?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Miara Jordana

Post autor: matmatmm »

Jest poprawny.
ODPOWIEDZ