Iloczyn kartezjański sigma-ciał

[malwinka1058]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{1}}\) jest rodziną pewnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X_{1}}\), a \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{2}}\) jest rodziną pewnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X_{2}}\), to
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times\sigma(\mathcal{K}_{2}) = \sigma(\mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}), }\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}=\left\lbrace A_{1}\times A_{2}: A_{1}\in\mathcal{K}_{1}, A_{2}\in\mathcal{K}_{2} \right\rbrace.}\)

Mam udowodnioną inkluzję
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}) \subset \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times \sigma(\mathcal{K}_{2})}\), problem mam natomiast z zawieraniem w drugą stronę.

[Dasio11]

A co rozumiesz przez \(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1) \times \sigma(\mathcal{K}_2)}\) ?

[malwinka1058]

\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times\sigma(\mathcal{K}_{2})=\sigma(\sigma(\mathcal{K}_{1}) \overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_{2}))}\)

ogólnie,
jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1} }\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{1}}\), zaś \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{2}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{2}}\), to
\(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2}=\sigma(\mathcal{A}_{1}\overline{\times}\mathcal{A}_{2}) }\)

[matmatmm]

W takim razie zawieranie w drugą stronę wynika stąd, że \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1\overline{\times}\mathcal{K}_2\subset \sigma(\mathcal{K}_1)\overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_2)}\).

Edit. Sorry, nie w tę stronę. Pomyślę jak zrobić w drugą stronę.

Rozważ rodzinę:

\(\displaystyle{ \left\{A\subset X: \bigwedge_{B\in\mathcal{K}_2}A\times B \in \sigma(\mathcal{K}_1\overline{\times}\mathcal{K}_2)\right\}}\)

i pokaż, że jest ona sigma-ciałem, w którym zawiera się \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1}\).

Dodano po 35 minutach 20 sekundach:
Palnąłem głupotę, bo zawieranie w drugą stronę nie zachodzi, o czym przekonałem się przy próbie dowodu mojej wskazówki. Aby się o tym przekonać rozważmy jednoelementowe rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\{A\},\mathcal{K}_2=\{B\}}\), przy czym \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \neq X, \emptyset\neq B\neq Y}\).

[malwinka1058]

Podana przeze mnie równość widnieje jako twierdzenie w książce S. Łojasiewicza "Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych", jednakże dowód jest skrótowy i dla mnie nie jest dostatecznie zrozumiały.

[matmatmm]

No nie wiem. Rozwińmy mój przykład dla konkretnych zbiorów:

\(\displaystyle{ X_1=X_2=\RR}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\mathcal{K}_2=\{[0,1]\}}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)=\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR,[0,1],\RR\setminus [0,1]\}}\)

\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)\overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,(\RR\setminus [0,1])^2,\RR\times [0,1],[0,1]\times\RR,\RR\times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times \RR,[0,1] \times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times [0,1] \}}\)

Z drugiej strony

\(\displaystyle{ \mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2}=\{[0,1]^2\}}\)

\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2})=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,\RR^2\setminus [0,1]^2\}}\)