Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{1}}\) jest rodziną pewnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X_{1}}\), a \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{2}}\) jest rodziną pewnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X_{2}}\), to
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times\sigma(\mathcal{K}_{2}) = \sigma(\mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}), }\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}=\left\lbrace A_{1}\times A_{2}: A_{1}\in\mathcal{K}_{1}, A_{2}\in\mathcal{K}_{2} \right\rbrace.}\)
Mam udowodnioną inkluzję
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1} \overline{\times} \mathcal{K}_{2}) \subset \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times \sigma(\mathcal{K}_{2})}\), problem mam natomiast z zawieraniem w drugą stronę.
Iloczyn kartezjański sigma-ciał
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: Iloczyn kartezjański sigma-ciał
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_{1}) \times\sigma(\mathcal{K}_{2})=\sigma(\sigma(\mathcal{K}_{1}) \overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_{2}))}\)
ogólnie,
jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1} }\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{1}}\), zaś \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{2}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{2}}\), to
\(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2}=\sigma(\mathcal{A}_{1}\overline{\times}\mathcal{A}_{2}) }\)
ogólnie,
jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1} }\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{1}}\), zaś \(\displaystyle{ \mathcal{A}_{2}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w zbiorze \(\displaystyle{ X_{2}}\), to
\(\displaystyle{ \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2}=\sigma(\mathcal{A}_{1}\overline{\times}\mathcal{A}_{2}) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Iloczyn kartezjański sigma-ciał
W takim razie zawieranie w drugą stronę wynika stąd, że \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1\overline{\times}\mathcal{K}_2\subset \sigma(\mathcal{K}_1)\overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_2)}\).
Edit. Sorry, nie w tę stronę. Pomyślę jak zrobić w drugą stronę.
Rozważ rodzinę:
\(\displaystyle{ \left\{A\subset X: \bigwedge_{B\in\mathcal{K}_2}A\times B \in \sigma(\mathcal{K}_1\overline{\times}\mathcal{K}_2)\right\}}\)
i pokaż, że jest ona sigma-ciałem, w którym zawiera się \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1}\).
Dodano po 35 minutach 20 sekundach:
Palnąłem głupotę, bo zawieranie w drugą stronę nie zachodzi, o czym przekonałem się przy próbie dowodu mojej wskazówki. Aby się o tym przekonać rozważmy jednoelementowe rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\{A\},\mathcal{K}_2=\{B\}}\), przy czym \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \neq X, \emptyset\neq B\neq Y}\).
Edit. Sorry, nie w tę stronę. Pomyślę jak zrobić w drugą stronę.
Rozważ rodzinę:
\(\displaystyle{ \left\{A\subset X: \bigwedge_{B\in\mathcal{K}_2}A\times B \in \sigma(\mathcal{K}_1\overline{\times}\mathcal{K}_2)\right\}}\)
i pokaż, że jest ona sigma-ciałem, w którym zawiera się \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1}\).
Dodano po 35 minutach 20 sekundach:
Palnąłem głupotę, bo zawieranie w drugą stronę nie zachodzi, o czym przekonałem się przy próbie dowodu mojej wskazówki. Aby się o tym przekonać rozważmy jednoelementowe rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\{A\},\mathcal{K}_2=\{B\}}\), przy czym \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \neq X, \emptyset\neq B\neq Y}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: Iloczyn kartezjański sigma-ciał
Podana przeze mnie równość widnieje jako twierdzenie w książce S. Łojasiewicza "Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych", jednakże dowód jest skrótowy i dla mnie nie jest dostatecznie zrozumiały.
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Iloczyn kartezjański sigma-ciał
No nie wiem. Rozwińmy mój przykład dla konkretnych zbiorów:
\(\displaystyle{ X_1=X_2=\RR}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\mathcal{K}_2=\{[0,1]\}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)=\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR,[0,1],\RR\setminus [0,1]\}}\)
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)\overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,(\RR\setminus [0,1])^2,\RR\times [0,1],[0,1]\times\RR,\RR\times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times \RR,[0,1] \times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times [0,1] \}}\)
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ \mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2}=\{[0,1]^2\}}\)
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2})=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,\RR^2\setminus [0,1]^2\}}\)
\(\displaystyle{ X_1=X_2=\RR}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{K}_1=\mathcal{K}_2=\{[0,1]\}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)=\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR,[0,1],\RR\setminus [0,1]\}}\)
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K}_1)\overline{\times}\sigma(\mathcal{K}_2)=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,(\RR\setminus [0,1])^2,\RR\times [0,1],[0,1]\times\RR,\RR\times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times \RR,[0,1] \times (\RR\setminus [0,1]), (\RR\setminus [0,1])\times [0,1] \}}\)
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ \mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2}=\{[0,1]^2\}}\)
\(\displaystyle{ \sigma(\mathcal{K_1}\overline{\times}\mathcal{K_2})=\{\emptyset,\RR^2,[0,1]^2,\RR^2\setminus [0,1]^2\}}\)