Iloczyn kartezjański zbiorów borelowskich

[malwinka1058]

Pokazać, że iloczyn kartezjański zbiorów borelowskich jest zbiorem borelowskim.

[janusz47]

Twierdzenie

\(\displaystyle{ \mathcal{B} (E^{n}) \times \mathcal{B} (E^{n}) = \mathcal{B}(E^{n+m}) }\)

Dowód

Oznaczmy :

\(\displaystyle{ P =\{ (x_{1},..., x_{n}, x_{n+1},...,x_{n+m}): \ \ a_{i}< x_{i}<b_{i}, \ \ i=1,2,...,n+m\} }\)

\(\displaystyle{ P \in G(E^{n+m}) }\) (klasa podzbiorów otwartych)

oraz

\(\displaystyle{ P = P_{1}\times P_{2} }\),

gdzie

\(\displaystyle{ P_{1} = \{(x_{1},...,x_{n}): \ \ a_{i}< x_{i}< b_{i}, \ \ i = 1,...,n \} }\)

\(\displaystyle{ P_{2} = \{(x_{n+1}, ...,x_{n+m}): a_{n+i} < x_{i}< b_{n+i}, \ \ i =1,...m \} }\)

Ponieważ

\(\displaystyle{ P_{1}\in G(E^{n}), \ \ P_{2}\in G(E^{m}), }\) to \(\displaystyle{ P }\) jest zbiorem walcowym \(\displaystyle{ E^{n}\times E^{m} = E^{n+m}, }\)

względem \(\displaystyle{ \mathcal{B}(E^{n}), \ \ \mathcal{B}(E^{n+m}), }\)

czyli \(\displaystyle{ P\in \mathcal{B}(E^{n}) \times \mathcal{B}(E^{m}) }\)

Niech \(\displaystyle{ A \in F (E^{n+m}) }\) (klasa podzbiorów domkniętych), \(\displaystyle{ x\in A }\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon >0. }\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P_{x_{0}, \varepsilon} }\) następujący zbiór

\(\displaystyle{ P_{x_{0}, \varepsilon} = [ (x_{1},...,x_{n+m}): \ \ x_{0,i}-\varepsilon < x_{i} < x_{0,i} +\varepsilon, \ \ i =1,...,n+m ] }\)

gdzie \(\displaystyle{ x_{0} = ( x_{0,1}, ..., x_{0,n+m}).}\)

Wówczas \(\displaystyle{ \bigcup_{x_{0}\in A} P_{x_{0}, \varepsilon} = A. }\)

Istnieje więc ciąg \(\displaystyle{ (x_{j, \varepsilon}) , \ \ j=1,2,...,}\) taki, że \(\displaystyle{ \bigcup_{j= 0}^{\infty} P_{x_{j},\varepsilon} = A. }\)

(wynika to z twierdzenia Lindelofa)

Biorąc \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} = \frac{1}{n}, \ \ i = 1,2,.., n+m,...}\) otrzymamy:

Istnieją takie ciągi \(\displaystyle{ (x_{ij}) _{j=1}^{\infty}, \ \ i =1,2,...}\) punktów zbioru \(\displaystyle{ A, }\) że

\(\displaystyle{ A = \bigcap_{i=1}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{\infty} P_{x_{i,j};\frac{1}{\varepsilon}} }\) oraz \(\displaystyle{ P_{x_{i,j};\frac{1}{\varepsilon}} \in \mathcal{B}(E^{n})\times \mathcal{B}( E^{m}), \ \ i,j = 1,2,... ,}\)

więc \(\displaystyle{ A \in \mathcal{B}(E^{n})\times \mathcal{B}( E^{m}). }\)

A zatem \(\displaystyle{ B(E^{n+m}) \subset \mathcal{B}(E^{n})\times \mathcal{B}( E^{m}). }\)

Aby udowodnić , inkluzję w przeciwną stronę, wystarczy wykazać, że każdy zbiór walcowy jest borelowski w \(\displaystyle{ E^{n+m}. }\)

Niech \(\displaystyle{ A \in B(E^{n}), \ \ B \in \mathcal{B}(E^{m}).}\) Wówczas \(\displaystyle{ A \times B = (A\times E^{m}) \cap (E^{n}\times B).}\)

Wystarczy więc wykazać, że każdy zbiór postaci \(\displaystyle{ A\times E^{m} }\) lub \(\displaystyle{ E^{n} \times B }\) jest borelowski w \(\displaystyle{ E^{n+m}. }\)

Weźmy pod uwagę odwzorowanie \(\displaystyle{ \pi: E^{n+m}\rightarrow E^{n}, \ \ \pi(x_{1},...,x_{n},x_{n+1},...,x_{n+m})=(x_{1},...,x_{n}). }\)

\(\displaystyle{ \pi }\) jest odwzorowaniem ciągłym.

Zatem dla każdego odwzorowania \(\displaystyle{ A \in \mathcal{B}(E^{n}), \ \ \pi^{-1}(A) \in \mathcal{B}(E^{n+m}) }\) (patrz np.[1])

Ale \(\displaystyle{ \pi^{-1} = A\times E^{m} }\) to znaczy \(\displaystyle{ A \times E^{m} \in \mathcal{B}(E^{n+m}) .}\)

Wykazaliśmy więc w ten sposób , że jeżeli \(\displaystyle{ A\in \mathcal{B}(E^{n}) }\) oraz \(\displaystyle{ B \in \mathcal{B}(E^{m}) }\) to \(\displaystyle{ A\times B \in \mathcal{B}(E^{n+m}), }\)

to kończy dowód twierdzenia.

[1] K.R. Partacarati. WWIEDIENIE W TEORIU WIEROJATNOSTEJ I TEORIU MIERY. Moskwa Izd. MIR. 1983.

Proszę o wprowadzenie zamiast "o" - literki "o umlaut" w słowie "Lindelofa" - nie mogę jej standardowym zapisem LateX'a wprowadzić w tym edytorze.