Ciąg miar krzywych

[TorrhenMathMeth]

Rozważmy rodzinę jednowymiarowych rozmaitości (krzywych) sparametryzowanych przez odwzorowania \(\displaystyle{ \phi_{n} : \left( 0,2\pi\right) \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) dane wzorem:
\(\displaystyle{ \phi_{n}\left( \alpha\right)=\left( \left( R+r\cos{n\alpha}\right) \cdot \cos{n\alpha},\left( R+r\cos{n\alpha}\right) \cdot \sin{n\alpha},r\sin{\alpha} \right) }\)
Liczby \(\displaystyle{ R>r>0}\) są tu ustalone, zaś \(\displaystyle{ n}\) przebiega zbiór liczb naturalnych. Niech \(\displaystyle{ L_{n}}\) oznacza jednowymiarową miarę powierzchniową (długość) rozmaitości o parametryzacji \(\displaystyle{ \phi_{n}}\). Udowodnić istnienie i wyznaczyć wartość granicy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{L_{n}}{n} \right) }\).

Dodano po 21 godzinach 49 minutach 59 sekundach:

\(\displaystyle{ \phi_{n}\left( \alpha\right)=\left( \left( R+r\cos{n\alpha}\right) \cdot \cos{n\alpha},\left( R+r\cos{n\alpha}\right) \cdot \sin{n\alpha},r\sin{\alpha} \right) }\)

Popełniłem błąd w powyższym wzorze. Powinno być \(\displaystyle{ \phi_{n}\left( \alpha\right)=\left( \left( R+r\cos{\alpha}\right) \cdot \cos{n\alpha},\left( R+r\cos{\alpha}\right) \cdot \sin{n\alpha},r\sin{\alpha} \right) }\)

Dodano po 8 godzinach 7 minutach 58 sekundach:
Doliczyłem, że z definicji, miara powierzchniowa takiej krzywej wynosi \(\displaystyle{ L_{n}= \int_{0}^{2 \pi } \sqrt{n^{2} \cdot \left( R+r \cdot \cos{\alpha}\right)^{2}+r^{2} } \ d\alpha}\). Niestety wygląda na to, że ta całka jest nie do policzenia i nie mogę znaleźć żadngo sensownego ograniczenia żeby policzyć jej granicę dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

[a4karo]

Ale nie masz liczyć granicy `L_n`. Podziel przez `n` i oszacuj otrzymany wynik z góry i z dołu

[Premislav]

Twoje obliczenia są dobre. Teraz już łatwo:
\(\displaystyle{ 0\le \sqrt{n^{2}(R+r\cos\alpha)^{2}+r^{2}}-\sqrt{n^{2}(R+r\cos \alpha)^{2}}=\frac{r^{2}}{\sqrt{n^{2}(R+r\cos\alpha)^{2}+r^{2}}+\sqrt{n^{2}(R+r\cos \alpha)^{2}}}\\\le \frac{r^{2}}{\sqrt{n^{2}(R+r\cos\alpha)^{2}}+\sqrt{n^{2}(R+r\cos \alpha)^{2}}}=\frac{1}{2n}\frac{r^{2}}{R+r\cos\alpha}\\\le \frac{1}{2n}\frac{r^{2}}{R-r}}\)
więc z monotoniczności całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sqrt{n^{2}(R+r\cos \alpha)^{2}}\mbox{d}\alpha \le L_{n}\le \int_{0}^{2\pi}\sqrt{n^{2}(R+r\cos \alpha)^{2}}\mbox{d}\alpha+\frac{\pi}{n}\frac{r^{2}}{R-r}}\)
a tę całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sqrt{n^{2}(R+r\cos\alpha)^{2}}\mbox{d}\alpha=\int_{0}^{2\pi}n(R+r\cos \alpha)\mbox{d}\alpha}\)
możesz bardzo łatwo obliczyć,

[a4karo]

I tylko dziwne jest, że wynik nie zależy od `r`