Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a
Pokazać, że funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego \(\displaystyle{ G \subset \mathbb{R}}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}(G)}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a
W dowodzie implikacji w trudniejszą stronę rozważ rodzinę
\(\displaystyle{ \{ B \subseteq \RR : f^{-1}[{B}] \text{ jest mierzalny w sensie Lebesgue'a} \}}\)
i wykaż, że jest to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zawierające wszystkie otwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\), a więc zawierające wszystkie zbiory borelowskie.
\(\displaystyle{ \{ B \subseteq \RR : f^{-1}[{B}] \text{ jest mierzalny w sensie Lebesgue'a} \}}\)
i wykaż, że jest to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zawierające wszystkie otwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\), a więc zawierające wszystkie zbiory borelowskie.