Miara Lebesgue'a zbioru

[TorrhenMathMeth]

Niech \(\displaystyle{ 0<h<H<r<R< \infty }\) oraz niech
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \mathbb{R}^{2} \times \left[ h,H\right]: \ r^{2} \le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \le R^{2} \right\} }\)

Znaleźć \(\displaystyle{ \lambda_{3}\left( A\right) }\), czyli 3-wymiarową miarę Lebesgue'a zbioru \(\displaystyle{ A}\).

[Tmkk]

bardzo wygodnie działają tutaj współrzędne walcowe

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = s\cos{\varphi} \\ x_2 = s\sin{\varphi} \\ x_3 = z \end{cases} }\)

[a4karo]

Wzory na objętość odcinka kuli są znane. Kombinuj.

[TorrhenMathMeth]

Okej, rzeczywiście łatwo można skombinować wynik patrząc po odcinkach kul. Po prostu myślałem na początku żeby jakąś całkę tu ułożyć i to mi nie szło do końca.

[a4karo]

Można i całką, ale warto przemyśleć podejście:

Przekrój tej warstwy kulistej płaszczyzną `x_3=s` gdzie (\(h\leq s\leq H\)) jest pierścieniem, którego zewnętrzny promień spełnia równanie `v^2(s)+s^2=R^2`, zaś wewnętrzny równanie `u^2(s)+s^2=r^2`. Pole tego pierścienia jest zatem równe `P(s)=2\pi v^2(s)-2\pi u^2(s)=R^2-r^2` (zabawne, że to nie zależy od poziomu przekroju).
Objętość szukanej bryły jest zatem równa
$$\int_h^H P(s)ds=(R^2-r^2)(H-h).$$