Niech \(\displaystyle{ 0<h<H<r<R< \infty }\) oraz niech
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \mathbb{R}^{2} \times \left[ h,H\right]: \ r^{2} \le x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \le R^{2} \right\} }\)
Znaleźć \(\displaystyle{ \lambda_{3}\left( A\right) }\), czyli 3-wymiarową miarę Lebesgue'a zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Miara Lebesgue'a zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Miara Lebesgue'a zbioru
bardzo wygodnie działają tutaj współrzędne walcowe
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = s\cos{\varphi} \\ x_2 = s\sin{\varphi} \\ x_3 = z \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = s\cos{\varphi} \\ x_2 = s\sin{\varphi} \\ x_3 = z \end{cases} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Miara Lebesgue'a zbioru
Okej, rzeczywiście łatwo można skombinować wynik patrząc po odcinkach kul. Po prostu myślałem na początku żeby jakąś całkę tu ułożyć i to mi nie szło do końca.
-
- Użytkownik
- Posty: 22209
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Miara Lebesgue'a zbioru
Można i całką, ale warto przemyśleć podejście:
Przekrój tej warstwy kulistej płaszczyzną `x_3=s` gdzie (\(h\leq s\leq H\)) jest pierścieniem, którego zewnętrzny promień spełnia równanie `v^2(s)+s^2=R^2`, zaś wewnętrzny równanie `u^2(s)+s^2=r^2`. Pole tego pierścienia jest zatem równe `P(s)=2\pi v^2(s)-2\pi u^2(s)=R^2-r^2` (zabawne, że to nie zależy od poziomu przekroju).
Objętość szukanej bryły jest zatem równa
$$\int_h^H P(s)ds=(R^2-r^2)(H-h).$$
Przekrój tej warstwy kulistej płaszczyzną `x_3=s` gdzie (\(h\leq s\leq H\)) jest pierścieniem, którego zewnętrzny promień spełnia równanie `v^2(s)+s^2=R^2`, zaś wewnętrzny równanie `u^2(s)+s^2=r^2`. Pole tego pierścienia jest zatem równe `P(s)=2\pi v^2(s)-2\pi u^2(s)=R^2-r^2` (zabawne, że to nie zależy od poziomu przekroju).
Objętość szukanej bryły jest zatem równa
$$\int_h^H P(s)ds=(R^2-r^2)(H-h).$$