Całka względem danej miary

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 77 razy

Całka względem danej miary

Post autor: strefa61 »

Cześć.
\(\displaystyle{ 0\notin \mathbb{N}}\) i mamy miarę:
\(\displaystyle{ \mu\left( A\right) = \begin{cases} 3, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A=\left\{ 1\right\} \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A \subseteq 2\mathbb{N}+1\\ \sum_{2k \in A} 2k, \ \ \ \ pozostałe: 1 \notin A \end{cases}}\)
Zadanie: policzyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{N}} \frac{1}{x^4} d\mu}\)

Cały mój problem polega na tym, że nie wiem jak przejść od definicji, do policzenia tej całki.
Moje podejście:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{N}} \frac{1}{x^4} d\mu = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1}\mu \left( \left\{ 1\right\} \right) + \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\left( 2j+1\right)^4} \mu \left( 2\mathbb{N}+1\right) + \int_{2\mathbb{N}} f_n d\mu \right) = 3 + \lim_{n\to \infty} \int_{2\mathbb{N}} f_n d\mu }\) ,gdzie ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \left( f_n \right) }\) jest ciągiem funkcji prostych zbieżnym do funkcji z treści zadania.

Oczywiście to nie jest dokładna definicja, ale z liniowości całki to tak wyjdzie (jeśli nie, to proszę o poprawienie mnie). Cały problem rozchodzi się właśnie o tą ostatnią całkę, bo ona, dopóki podział liczb parzystych będzie skończony, zawsze będzie rozbieżna. Ten podział dąży do sytuacji, w której zbiór liczb parzystych rozłożymy na singletony i będziemy mnożyć przez wartość funkcji, którą całkujemy w tym punkcie, więc ostatecznie:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{2\mathbb{N}} f_n d\mu = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{\left( 2j\right)^4 } \mu \left( \left\{ 2j\right\} \right) = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{\left( 2j\right)^3 }}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{N}} \frac{1}{x^4} d\mu = 3 + \frac{1}{8}\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^3 } }\)

Czy ta odpowiedź jest ok? Nie podoba mi się to 'intuicyjne' przejście do nieskończoności - choć z drugiej strony ciąg funkcji zbieżny punktowo musi zbiegać do czegoś takiego z definicji zbieżności, prawda?
ODPOWIEDZ