Rozszerzenie sigma-algebry i miara zupełna

[strefa61]

Cześć. Mam następujące zadanie:
\(\displaystyle{ X=\left[ 0,2\right] }\), \(\displaystyle{ \Sigma=\left\{ \emptyset, \left[ 0,2\right], \left[ 1,2\right] ,\left[0,1 \right) \right\} }\) oraz miara: \(\displaystyle{ \mu \left( \left[ 1,2\right]\right) =1 }\) oraz \(\displaystyle{ \mu \left( \left[ 0,1\right)\right)= 0 }\)

Oczywiście miara jest niezupełna. Mam znaleźć rozszerzenie \(\displaystyle{ \overline{\Sigma}=\left\{ A \subset X : \exists L,R \in \Sigma: S \subset A \subset T, \mu\left( T \setminus S\right) =0\right\} }\).

Nie wiem jak się robi takie zadania inaczej, niż 'na siłę'. Wyznaczyłem to tak:
musimy mieć dokładnie każdy podzbiór zbioru o mierze równej 0, więc \(\displaystyle{ 2^{\left[ 0,1\right) } \subset \overline{\Sigma}}\)
No i musimy mieć: \(\displaystyle{ \Sigma \subset \overline{\Sigma}}\).


Zatem moja odpowiedź: \(\displaystyle{ \overline{\Sigma}=\sigma\left( 2^{\left[ 0,1\right) } \cup \Sigma \right) }\) - sigma algebra generowana.
Mogę prosić o jakieś uwagi do tego? Może da się to wyznaczyć 'konkretniej'? I w ogóle czy ta odpowiedź jest dobra?

[Dasio11]

Może da się to wyznaczyć 'konkretniej'?

Da się, tak jak napisałeś wcześniej (z literówką):

\(\displaystyle{ \overline{\Sigma} = \left\{ A \subseteq X : (\exists S, T \in \Sigma) \big( S \subseteq A \subseteq T \wedge \mu( T \setminus S ) = 0 \big) \right\}}\).

Weź więc po kolei każdą parę \(\displaystyle{ S \subseteq T}\) zbiorów z Twojego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała spełniającą \(\displaystyle{ \mu( T \setminus S ) = 0}\) - takich par nie jest dużo - i wyznacz wszystkie zbiory pośrednie \(\displaystyle{ S \subseteq A \subseteq T}\). Szukane domknięcie składa się ze wszystkich wyznaczonych zbiorów.

[strefa61]

A no tak, słusznie . Przepraszam za literówkę. Dzięki.