Jak liczyć całki tego typu?

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Szustarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Jak liczyć całki tego typu?

Post autor: Szustarol » 12 gru 2019, o 00:04

Witam
Jak liczyć całki typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ x-\sqrt{x^2-x+1} }}\), \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ x^2 (x+\sqrt{x^2+1}) }}\), \(\displaystyle{ \int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx}\)
Pierwszą z nich próbowałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ x-\sqrt{x^2-x+1} } = \int \frac{x+\sqrt{x^2-x+1}}{x-1}dx = \int \frac{x}{x-1}dx + \int \frac{x^2-x+1}{x-1} dx}\),
następnie wykonywałem podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1} = t-x}\)
Otrzymując finalnie całkę funkcji wymiernej:
\(\displaystyle{ \int \frac{(t^2-t+1)^2}{(t^2-2t)\cdot(2t-1)^2}dt}\)
Całka oczywiście jak najbardziej do policzenia, ale za to jakim kosztem - myślę, że musi istnieć szybsza i prostsza metoda - całki pochodzą ze zbioru Banasia i Wędrychowicza - zadania 115, 116 i 127 z całek nieoznaczonych - odpowiedzi do zadań sugerują, że zostały uzyskane za pomocą innego rozumowania - są wyrażone inną funkcją pierwotną

Drugą całkę próbowałem analogicznie:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ x^2 (x+\sqrt{x^2+1}) } = \int \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2(x^2-1-x^2)}dx = -\int \frac{1}{x}dx+ \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx}\)

I dalej analogiczne postępowanie - podstawienie Eulera i niebotyczna funkcja wymierna, a patrząc na odpowiedzi widzę tylko dwa logarytmy. Jak do tego dojść?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ