Matematyka.pl

Obliczyć miarę Jordana zbioru Cantora oraz zbioru \(\displaystyle{ A=\left\{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N} \right\} }\).

Jeśli chodzi o zbiór \(A\) to weź na początek odcinek o długości \(\frac{\epsilon}{2}\) o środku w zerze. Wtedy przykrywa on prawie wszystkie punkty zbioru \(A\). Pozostaje Ci zatem skończenie wiele punktów do przykrycia odcinkiem o mierze \(\frac{\epsilon}{2}\). Czy wiesz jak to zrobić?

Z konstrukcji zbioru Cantora \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n}\), gdzie każdy \(\displaystyle{ C_n}\) to suma \(\displaystyle{ 2^n}\) odcinków długości \(\displaystyle{ \frac{1}{3^n}}\). Z tego wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \mathcal{C} \subset C_n}\), przy czym miara \(\displaystyle{ C_n}\) jest równa \(\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}\right)^n}\). Czyli co z tego wynika?