Przestrzeń Lp, jednostajna ciągłość

[MrCommando]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) całkowalną w sensie Lebesgue'a na prostej. Ponadto załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ p>1}\) jest \(\displaystyle{ f' \in L^p(\mathbb{R})}\).

Próbuję udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest jednostajnie ciągła. Jednak jedyne co póki co widzę, to lokalną lipszycowskość, a to o wiele za mało. Jakieś wskazówki?

[Premislav]

Powiedzcie, proszę, co jest źle w poniższym:
Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|=\left|\int_{y}^{x}f'(t) \mbox{d}t \right|}\) dla \(\displaystyle{ x>y, \ x,y\in \RR}\).
Poprzez rozpisanie na sumy całkowe i nierówność trójkąta mamy łatwo
\(\displaystyle{ \left|\int_{y}^{x}f'(t)\mbox{d}t \right|\le \int_{x}^{y}\left|f'(t)\right|\mbox{d}t }\), natomiast z nierówności Höldera jest
\(\displaystyle{ \int_{y}^{x}\left|f'(t)\right|\cdot 1\mbox{d}t\le \left(\int_{x}^{y}|f'(t)|^{p}\mbox{d} t\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_{y}^{x}1^{q} \mbox{d} t\right)^{\frac{1}{q}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p}\) jak w treści zadania, a \(\displaystyle{ q=\frac{1}{1-\frac{1}{p}}}\).
A ponieważ \(\displaystyle{ \int_{y}^{x}1\mbox{d}t=x-y=|x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x>y}\), więc dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), o ile tylko zajdzie
\(\displaystyle{ |x-y|<\left(\frac{\epsilon}{M}\right)^{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ M=\left(\int_{\RR}|f'(t)|^{p}\mbox{d}t \right)^{\frac{1}{p}}}\), będzie
\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|<\epsilon}\).

[Dasio11]

Powiedzcie, proszę, co jest źle w poniższym:

Zasadniczo nic.

[MrCommando]

No tak, zapomniałem kompletnie o nierówności Holdera i dlatego to nie chciało wyjść! Dzięki

[timon92]

Powiedzcie, proszę, co jest źle w poniższym:

Zasadniczo nic.

poza tym, że w dwóch całkach granice całkowania są na odwrót to wszystko jest okay

[Dasio11]

Dlatego napisałem, że zasadniczo nic, bo wskazane błędy nie są zasadnicze, tylko literowe.