1. Sprawdzić czy rodzina jest \(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2.}\)
2. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będa zbiorami, niech \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \subset 2^Y}\), będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, a \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) funkcją odwzorowującą zbiór \(\displaystyle{ X}\) na zbiór \(\displaystyle{ Y}\). Sprawdzić, czy któraś z poniższych rodzin jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem:
a) \(\displaystyle{ \{A \subset X: f(A) \in \mathfrak{M}\}}\)
b) \(\displaystyle{ \{f^{-1} (B): B \in \mathfrak{M}\}}\).
Czy założenie, że \(\displaystyle{ f(X)=Y }\) ma wpływ na odpowiedź?
3.Treść ta sama co wyżej tylko \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \subset 2^X}\)
a)\(\displaystyle{ \{f(A) : A \in \mathfrak{M}\} }\).
Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki, bo temat jest dla mnie ciężki
Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 lis 2019, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 lis 2019, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Re: Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem
Ad 1.
Zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset = (- \emptyset)}\).
Dalej,
Z założenia mamy, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ (k,l) \in A}\), to \(\displaystyle{ (-k,-l) \in A}\), zatem jeśli weźmiemy dopełnienia tych dwóch zbiorów, to widzimy, że dopełnienie \(\displaystyle{ (-k,-l)}\) zawiera się w dopełnieniu \(\displaystyle{ (k,l)}\) czyli jest dobrze. O to chodzi w ogóle? Ja po prostu nie rozumiem treści zadań
Nie mam również pomysłu na sumę. Jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), więc dostajemy punkty, tak? Jeżeli założymy, że każdy z tych punktów należy do \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciała, to ich suma również?
Zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset = (- \emptyset)}\).
Dalej,
Z założenia mamy, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ (k,l) \in A}\), to \(\displaystyle{ (-k,-l) \in A}\), zatem jeśli weźmiemy dopełnienia tych dwóch zbiorów, to widzimy, że dopełnienie \(\displaystyle{ (-k,-l)}\) zawiera się w dopełnieniu \(\displaystyle{ (k,l)}\) czyli jest dobrze. O to chodzi w ogóle? Ja po prostu nie rozumiem treści zadań
Nie mam również pomysłu na sumę. Jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), więc dostajemy punkty, tak? Jeżeli założymy, że każdy z tych punktów należy do \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciała, to ich suma również?
-
- Administrator
- Posty: 34283
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem
Przykro mi, ale to nie ma sensu (podobnie jak ciąg dalszy).niiezalezna pisze: ↑25 lis 2019, o 15:42Ad 1.
Zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset = (- \emptyset)}\).
Zacznijmy od tego, czy w ogóle rozumiesz definicję tej rodziny. Czy możesz własnymi słowami opisać, co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) należy do tej rodziny?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 lis 2019, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Re: Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem
Spróbuję, ale to jak poprzednia wiadomość, może nie mieć sensu.
Jeżeli jakiś podzbiór płaszczyzny należy do A, to jej płaszczyzna przeciwna również?
Jeżeli jakiś podzbiór płaszczyzny należy do A, to jej płaszczyzna przeciwna również?
-
- Administrator
- Posty: 34283
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem
Po pierwsze - dlaczego "należy do \(\displaystyle{ A}\)"? Przecież Twoja rodzina to \(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\). Nazwijmy ją \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) (czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}=\{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\)). I pytanie, na które masz odpowiedzieć, brzmi: "Co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\)?"niiezalezna pisze: ↑25 lis 2019, o 16:13Jeżeli jakiś podzbiór płaszczyzny należy do A, to jej płaszczyzna przeciwna również?
Po drugie, co to jest "płaszczyzna przeciwna"?
Twój problem nie ma nic wspólnego z teorią miary - Twój problem leży na poziomie Wstępu do matematyki. Po prostu nie umiesz przeczytać ze zrozumieniem definicji rodziny zbiorów (czyli nie umiesz ze zrozumieniem "czytać znaczków"). Ale próbuj, nie ma innej drogi. Na wszelki wypadek przypomnę Ci jeszcze raz, że \(\displaystyle{ A \subseteq \RR^2}\) oznacza, że \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem płaszczyzny, a \(\displaystyle{ (k,l)}\) to para uporządkowana liczb rzeczywistych, czyli element płaszczyzny (punkt na płaszczyźnie). Natomiast sama definicja rodziny \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) daje się prosto opisać geometrycznie.
JK