Sprawdzić czy rodzina jest sigma ciałem

[niiezalezna]

1. Sprawdzić czy rodzina jest \(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2.}\)


2. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będa zbiorami, niech \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \subset 2^Y}\), będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, a \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) funkcją odwzorowującą zbiór \(\displaystyle{ X}\) na zbiór \(\displaystyle{ Y}\). Sprawdzić, czy któraś z poniższych rodzin jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem:
a) \(\displaystyle{ \{A \subset X: f(A) \in \mathfrak{M}\}}\)
b) \(\displaystyle{ \{f^{-1} (B): B \in \mathfrak{M}\}}\).
Czy założenie, że \(\displaystyle{ f(X)=Y }\) ma wpływ na odpowiedź?

3.Treść ta sama co wyżej tylko \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \subset 2^X}\)
a)\(\displaystyle{ \{f(A) : A \in \mathfrak{M}\} }\).


Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki, bo temat jest dla mnie ciężki

[Dasio11]

Próbowałaś z definicji?

[niiezalezna]

Ad 1.
Zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset = (- \emptyset)}\).
Dalej,
Z założenia mamy, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ (k,l) \in A}\), to \(\displaystyle{ (-k,-l) \in A}\), zatem jeśli weźmiemy dopełnienia tych dwóch zbiorów, to widzimy, że dopełnienie \(\displaystyle{ (-k,-l)}\) zawiera się w dopełnieniu \(\displaystyle{ (k,l)}\) czyli jest dobrze. O to chodzi w ogóle? Ja po prostu nie rozumiem treści zadań

Nie mam również pomysłu na sumę. Jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), więc dostajemy punkty, tak? Jeżeli założymy, że każdy z tych punktów należy do \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciała, to ich suma również?

[Jan Kraszewski]

Ad 1.
Zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset = (- \emptyset)}\).

Przykro mi, ale to nie ma sensu (podobnie jak ciąg dalszy).

Zacznijmy od tego, czy w ogóle rozumiesz definicję tej rodziny. Czy możesz własnymi słowami opisać, co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) należy do tej rodziny?

JK

[niiezalezna]

Spróbuję, ale to jak poprzednia wiadomość, może nie mieć sensu.
Jeżeli jakiś podzbiór płaszczyzny należy do A, to jej płaszczyzna przeciwna również?

[Jan Kraszewski]

Jeżeli jakiś podzbiór płaszczyzny należy do A, to jej płaszczyzna przeciwna również?

Po pierwsze - dlaczego "należy do \(\displaystyle{ A}\)"? Przecież Twoja rodzina to \(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\). Nazwijmy ją \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) (czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}=\{A \subset \mathbb{R}^2 : \forall_{(k,l)\in A} ((-k,-l) \in A\}}\)). I pytanie, na które masz odpowiedzieć, brzmi: "Co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\)?"

Po drugie, co to jest "płaszczyzna przeciwna"?

Twój problem nie ma nic wspólnego z teorią miary - Twój problem leży na poziomie Wstępu do matematyki. Po prostu nie umiesz przeczytać ze zrozumieniem definicji rodziny zbiorów (czyli nie umiesz ze zrozumieniem "czytać znaczków"). Ale próbuj, nie ma innej drogi. Na wszelki wypadek przypomnę Ci jeszcze raz, że \(\displaystyle{ A \subseteq \RR^2}\) oznacza, że \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem płaszczyzny, a \(\displaystyle{ (k,l)}\) to para uporządkowana liczb rzeczywistych, czyli element płaszczyzny (punkt na płaszczyźnie). Natomiast sama definicja rodziny \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) daje się prosto opisać geometrycznie.

JK