Różniczkowanie pod znakiem całki

[MrCommando]

Przy wyznaczaniu całki \(\displaystyle{ \int_{[0,\infty)} e^{-ax^2}x^2\mbox{d}x}\) pojawił się mały problem. Próbuję wykorzystać twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki, ale mam problem ze sprawdzeniem jednego założenia. Możliwe, że umyka mi tutaj coś totalnie oczywistego.

Niech \(\displaystyle{ f(x,a)=-e^{-ax^2}}\) będzie określona dla \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ x\geq 0}\). Mamy \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)= e^{-ax^2}x^2}\). Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(a)=\int_{[0,\infty)} -e^{-ax^2}\mbox{d}x}\). Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \int_{[0,\infty)} e^{-\frac{t^2}{2}}\mbox{d}t=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}}\) łatwo można obliczyć, że \(\displaystyle{ g'(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{a^3}}}\). Na mocy twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całki, pod warunkiem, że spełnione są odpowiednie założenia, zajdzie:
\(\displaystyle{ g'(a)=\int_{[0,\infty)}\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\mbox{d}x=\int_{[0,\infty)}e^{-ax^2}x^2\mbox{d}x}\).

I gotowe. Pod warunkiem, że spełnione są założenia wspomnianego twierdzenia. Ogólnie wiem jak należy to zrobić - problematyczne okazało się znalezienie takiej funkcji \(\displaystyle{ h}\) całkowalnej w sensie Lebesgue'a, że \(\displaystyle{ \left|\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\right|\leq h(x)}\). Oczywiście moduł tej pochodnej można oszacować z góry przez \(\displaystyle{ x^2}\), ale taka funkcja nie jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na półprostej.

Dodano po 16 godzinach 16 minutach 45 sekundach:
Dobra, chyba już nieważne. Dla ustalonego \(\displaystyle{ a'>0}\) możemy rozważać funkcję \(\displaystyle{ f}\) określoną dla \(\displaystyle{ a>\varepsilon}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon<a'}\). Wtedy prościej zmajoryzować tą pochodną cząstkową.