Funkcje mierzalne

[niiezalezna]

1. Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \mathbb{R}}\) jest \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\)- mierzalna oraz wyznaczyć najmniejsze \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciało, względem którego funkcja ta jest mierzalna, jeżeli :
a) \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}, \mathfrak{M} = \mathfrak{L}_1}\), \(\displaystyle{ f = 2 \cdot \mathbf{1}_{[0, +\infty]} - 3 \cdot \mathbf{1}_{(-\infty, 1)}}\),
b) \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}, \mathfrak{M} = \mathfrak{B}(\mathbb{R})}\), \(\displaystyle{ f(x)=\mathrm{sgn} \, x , x \in X}\),
c) \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}, \mathfrak{M} = \mathfrak{B}(\mathbb{R})}\), \(\displaystyle{ f(x)=[x], x \in X}\).

2.Opisać wszystkie funkcje \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) - mierzalne, jeżeli:
a) \(\displaystyle{ \mathfrak{M} = \{\emptyset, ( - \infty, 2), [2, +\infty), \mathbb{R}\}}\)
b) \(\displaystyle{ \mathfrak{M} = \{\emptyset, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}, \mathbb{R}\}.}\)

3.Niech \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów zbioru X. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \mathfrak{M}=2^X}\), wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}}\) jest \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\)- mierzalna.

[szw1710]

3. Jeśli \(\mathfrak{M}= 2^X\), to mierzalność dowolnej funkcji jest oczywistą konsekwencją definicji funkcji mierzalnej. NIech teraz \(\mathfrak{M}\ne 2^X\), więc istnieje taki zbiór \(A\subset X\) spełniający warunek \(A\not\in\mathfrak{M}.\) Rozważ funkcję charakterystyczną zbioru \(A\). Czy jest funkcją mierzalną?

[MrCommando]

1. W pierwszym podpunkcie możemy skorzystać z tego, że funkcje charakterystyczne są mierzalne, a kombinacje liniowe funkcji mierzalnych są mierzalne. Pozostałe dwa podpunkty - spróbuj wprost z definicji mierzalności. Jeśli chodzi o wyznaczenie najmniejszego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała, to popatrzyłbym jak wyglądają dla każdej z tych funkcji przeciwobrazy przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty,a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\), a następnie zastanowiłbym się jakie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała one generują.

2. Też radzę wesprzeć się definicją mierzalności i napisać kilka przykładowych funkcji i spojrzeć jak będą wyglądały ich wykresy (na przykład takich jak \(\displaystyle{ \chi_{[2,+\infty)}}\) albo \(\displaystyle{ 5\chi_{(-\infty,2)}}\)). Wtedy prościej będzie zauważyć jak ogólnie one wyglądają.

[niiezalezna]

3. Jeśli \(\mathfrak{M}= 2^X\), to mierzalność dowolnej funkcji jest oczywistą konsekwencją definicji funkcji mierzalnej. NIech teraz \(\mathfrak{M}\ne 2^X\), więc istnieje taki zbiór \(A\subset X\) spełniający warunek \(A\not\in\mathfrak{M}.\) Rozważ funkcję charakterystyczną zbioru \(A\). Czy jest funkcją mierzalną?

No to z definicji funkcji mierzalnej mamy, że przeciowbraz tej funkcji ma być mierzalny, zatem w przypadku funkcji charakterystycznej przeciwobrazem \(\displaystyle{ \{1\}}\) jest zbiór \(\displaystyle{ A}\), a on z założenia mierzalny nie jest. Czy to jest dobre rozumowanie?

[janusz47]

viewtopic.php?t=362437

[szw1710]

No to z definicji funkcji mierzalnej mamy, że przeciowbraz tej funkcji ma być mierzalny, zatem w przypadku funkcji charakterystycznej przeciwobrazem \(\displaystyle{ \{1\}}\) jest zbiór \(\displaystyle{ A}\), a on z założenia mierzalny nie jest. Czy to jest dobre rozumowanie?

Tak więc funkcja charakterystyczna tego zbioru \(A\) nie jest mierzalna.