Zbiór punktów krytycznych

[MrCommando]

Próbuję wykazać, że dla funkcji gładkiej \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) miara (Lebesgue'a) obrazu zbioru \(\displaystyle{ V=\left\{x \in \mathbb{R}: f'(x)=0\right\}}\) jest równa zero, ale kiepsko to wychodzi. Jak najlepiej do tego podejść? Jakaś wskazówka?

[szw1710]

Jest to twierdzenie Sarda.

[MrCommando]

Zgadza się Jednym z zadań z listy z ćwiczeń, którego nie zrobiliśmy, było wykazanie tego twierdzenia dla \(\displaystyle{ n=1}\). Szukałem dowodu, ale głównie znalazłem takie, które korzystały z mocno nieelementarnych rzeczy, o których jeszcze nie słyszałem. Zastanawiam się jak zrobić to najprościej. Znalazłem teraz między innymi coś takiego

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/1570206/set-of-critical-values-of-one-dimensional-continuously-differentiable-function-h

Jednak mam wątpliwości, czy to rozumowanie na pewno jest poprawne (mianowicie lemat, który wykorzystuje).
Generalnie gdyby wspomniany tu zbiór \(\displaystyle{ E}\) był przedziałem domkniętym, to bardzo łatwo z twierdzenia Lagrange'a można pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest lipszycowska na \(\displaystyle{ E}\) ze stałą \(\displaystyle{ M}\), a stąd już szybko wynika teza. Ale przecież \(\displaystyle{ E}\) to jest jakiś dowolny zbiór i raczej nie możemy pochopnie tak wnioskować. A może ten lemat jest prawdziwy i po prostu da się to jakoś sprytniej podejść? Bo póki co kontrprzykładu nie widzę. Myślałem, żeby przy założeniu, że \(\displaystyle{ E}\) jest ograniczony, rozważyć jakiś przedział domknięty zawierający \(\displaystyle{ E}\). Ale przecież na takim większym zbiorze ta stała ograniczająca pochodną może być inna, więc to nic nie daje.

[Dasio11]

Lemat jest prawdziwy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ E}\).


Dowód: rozważmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R}}\) i załóżmy, że \(\displaystyle{ |f'(x)| \le M}\) dla \(\displaystyle{ x \in E}\). Jeśli \(\displaystyle{ \lambda^*(E) = \infty}\), to teza jest oczywista, więc bez zmniejszania ogólności \(\displaystyle{ E}\) ma skończoną miarę zewnętrzną. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i niech \(\displaystyle{ U \subseteq \mathbb{R}}\) będzie otwartym nadzbiorem \(\displaystyle{ E}\), takim że \(\displaystyle{ \lambda(U) \le \lambda^*(E) + \varepsilon}\).

Przedziałem diadycznym nazywamy przedział postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ k, n \in \mathbb{Z}}\). Łatwo zauważyć, że jeśli przekrój dwóch przedziałów diadycznych składa się z więcej niż jednego punktu, to jeden z tych przedziałów zawiera się w drugim. Ponadto dla zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) przez \(\displaystyle{ \overline{\mathrm{conv}} \; A}\) oznaczmy najmniejszy przedział domknięty zawierający \(\displaystyle{ A}\).

Nietrudno sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in E}\) istnieje największy przedział diadyczny \(\displaystyle{ I_x}\), taki że \(\displaystyle{ x \in I_x \subseteq U}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda( \overline{\mathrm{conv}} \; f[I_x] ) \le (M+\varepsilon) \lambda(I_x)}\). Wykażemy, że jeśli \(\displaystyle{ I_x \neq I_y}\), to \(\displaystyle{ \lambda( I_x \cap I_y ) = 0}\). Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ \lambda( I_x \cap I_y ) > 0}\), w szczególności więc \(\displaystyle{ I_x \cap I_y}\) składa się z więcej niż jednego punktu. Jeśli dodatkowo \(\displaystyle{ I_x \neq I_y}\), to z uwagi z poprzedniego akapitu dostajemy \(\displaystyle{ I_x \subsetneq I_y}\) lub \(\displaystyle{ I_y \subsetneq I_x}\), co jest niemożliwe ze względu na definicję przedziałów \(\displaystyle{ I_x, I_y}\).

Rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{I} = \{ I_x : x \in E \}}\) pokrywa \(\displaystyle{ E}\), więc rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{J} = \{ \overline{\mathrm{conv}} \; f{[}I] : I \in \mathcal{I} \}}\) pokrywa \(\displaystyle{ f[E]}\), a co więcej obie te rodziny są przeliczalne. Mamy też

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\lambda^*(f[E]) & \le \sum_{J \in \mathcal{J}} \lambda(J) \le \sum_{I \in \mathcal{I}} \lambda(\overline{\mathrm{conv}} \; f{[}I]) \le \sum_{I \in \mathcal{I}} (M+\varepsilon) \lambda(I) = (M+\varepsilon) \sum_{I \in \mathcal{I}} \lambda(I) \\
& = (M+\varepsilon) \lambda \left( \bigcup \mathcal{I} \right) \le (M+\varepsilon) \lambda(U) \le (M+\varepsilon)( \lambda^*(E) + \varepsilon ).
\end{align*}}\)

Z uwagi dowolność \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dostajemy tezę.

[MrCommando]

Dziękuję